Questions sur les Bases

[Dominique]

exo1: un nombre écrit ab en base 5 s'écrit cbb en base 3, de plus c=a-b

Déterminer a, b et c

On cherche a, b et c entiers naturels (avec 0 < a < 5 et b < 3 et 0 < c < 3) tels que :

5a + b = 9c + 3b + b et c = a -b

soit : 5a = 9c + 3b et c = a - b

soit : 5a = 9(a - b) + 3b et c = a - b

soit : 4a = 6b et c = a - b

soit : 2a = 3b et c = a - b

Si b = 0, a = 0 à rejeter

Si b= 1, 2a = 3 à rejeter car a entier

Si b = 2, 2a = 6 donc a = 3 et c = a - b = 3 - 2 = 1

Donc une seule solution : a = 3 et b = 2 et c = 1.

exo2: Déterminer les 3 premiers nombres entiers naturels tel que:

le reste de ces nombres dans la division par 6 est 2

_____________________________________5 est 2

_____________________________________7 est 1

Message édité : attention, ce qui suit correspond à une mauvaise lecture de l'énoncé (tous les restes égaux à 2). Voir suite du fil de discussion.

On cherche n entier naturel tel que n - 2 soit en même temps multiple de 5, de 6 et de 7.

Ça revient à chercher n entier naturel tel que n - 2 soit un multiple du PPCM de 5, 6 et 7.

Or le PPCM de 5, 6 et 7 vaut 210.

D'où les solutions au problème posé :

n - 2 = 210 soit n = 212

n - 2 = 420 soit n = 422

n - 2 = 630 soit n = 632

[cococacao]

merci pr l'exo 1 il me manquait les "si b=..." je manque de pratique en maths...

pour l'exo 2 ok ppour le PPCM par contre, "le reste de ces nombres dans la division par 7 est 1 ( et pas 2) et 632 = 90*7+2 comme tu dis, à moins que ce soit une erreur dans mon énoncé?

[Dominique]

pour l'exo 2 ok ppour le PPCM par contre, "le reste de ces nombres dans la division par 7 est 1 ( et pas 2)

Oups ... désolé, j'ai mal lu l'énoncé et ai vu des 2 partout !

Je reprends avec le bon énoncé.

1°) Si on ne s'occupe que des deux premières contraintes, on trouve que n - 2 doit être un multiple du PPCM de 5 et 6 donc de 30.

Ce qui donne comme possibilité pour n les nombres : 32, 62, 92, 122, 152, 182, etc.

2°) Il reste à trouver parmi ces nombres les trois premiers qui sont tels que n - 1 soit un multiple de 7.

On regarde donc si 31 puis 61 puis 91 puis etc. sont divisibles par 7.

On trouve que les trois premiers nombres de cette liste divisibles par 7 sont 91, 301 et 511.

Les nombres cherchés sont donc les nombres 92, 302 et 512.

Remarque : il y a peut-être moyen de trouver une solution qui n'impose pas tous les tests de divisibilité par 7 qui figurent au 2°) de ma solution mais ça ne me vient pas de façon immédiate ...

[titlili64]

Bonjour! J'ai aussi une question par rapport aux bases et vu que les méthodes de Dominique Pernoux sont très claires et simples sur ce sujet peut-être pourra t'il m'éclairer... voilà:

Peut-on comparer 2 nombres écrits dans 2 bases différentes MAIS SANS passer par la base 10? Par exemple un nombre en base 5 et un autre en base 12? (Coder et décoder ça ne me pose plus aucun problème mais là , je passe...)

Merci!

[Dominique]

Peut-on comparer 2 nombres écrits dans 2 bases différentes MAIS SANS passer par la base 10? Par exemple un nombre en base 5 et un autre en base 12?

Sauf cas particuliers (exemple : les ordres de grandeur des nombres sont tellement différents que le résultat est "évident"), pour arriver à répondre le mieux est d'écrire les deux nombres dans une même base et comme, on sait difficilement, sauf cas particuliers, passer d'une écriture en base a à une écriture en base b (avec a et b différents de dix) le mieux est bien d'écrire les deux nombres en base dix.

[titlili64]

Merci pour la réponse. Ca me rassure, je me dis qu'ils ne ne nous poserons pas ce genre de question au concours! Ouf!