comment tout comprendre sur les "bases"

[smila94]

Bonjour à tous,

je souhaiterais trouver un ouvrage me permettant de maitriser la notion de bases (base 10 etc...), en connaissez vous un couvrant intégralement ce point de façon très claire ??

Merci pour vos réponses.

[cedrick]

Bonjour à tous,

je souhaiterais trouver un ouvrage me permettant de maitriser la notion de bases (base 10 etc...), en connaissez vous un couvrant intégralement ce point de façon très claire ??

Merci pour vos réponses.

Je vais essayer d'expliquer cela. Prendre une base, c'est choisir un moyen d'écrire un nombre. Il n'y a qu'une écriture possible pour un nombre dans chaque base.

Chez nous, on utilise la base 10, elle est super bien faite, très naturelle... Qu'est-ce que ça veut dire, écrire un nombre entier en base 10? C'est

l'écrire sous forme de puissances de 10.

En fait, quand on écrit le nombre 236, on a déjà fait le travail d'écriture en base 10

236 = 2 * 100 + 3 * 10 + 6 *1

Or:

# 100 = 10 * 10 = 10^2

# 10 = 10 * 1 = 10^1

# 1 = 10^0 (Parce que un nombre à la puissance zéro donne 1 - à part 0 biensûr -).

Ainsi, 236 = 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 6 * 10^0

Ca s'appelle la décomposition canonique en base 10. Evidemment, on a l'impression d'avoir fait ça pour rien, puisque la base 10 est naturelle pour nous, on

n'a même pas besoin de préciser qu'on l'utilise.

Imaginons une décomposition en base 5, comme dans l'exercice que tu proposes plus haut.

Il faut donc utiliser les puissances de 5: 5^0; 5^1;5^2;5^3;5^4, etc...

La première chose à faire est de trouver la plus grande puissance utilisée en essayant les puissances de 5 les plus grandes, puis en diminuant...

1. Est-ce que c'est 5^4?

5^4=625, c'est trop grand, donc ça n'est pas possible.

2. Est-ce que c'est 5^3?

5^3=125, c'est donc 5^3!!!

3. Maintenant, il faut trouver combien de fois on met 125

C'est le résultat de la division euclidienne de 236 par 125.

La réponse c'est 1, et il reste 111.

On a donc commencé à décomposer notre nombre: 236 = 1 * 5^3 + 111

4. Il faut continuer avec la puissance inférieure et le reste du nombre (111). Combien de fois met-on 5^2 dans 111?

Réponse: 4 fois, reste 11.

On a donc affiné la décomposition de 237: 237= 1 * 5^3 + 4 * 5^2 + 11

5. Et le 11?

11 = 10 + 1 = 2 * 5 + 1 * 1 = 2 * 5^1 + 1 * 5 ^0.

On a donc la décomposition finale de 236, mais en base 5: 236 = 1 * 5^3 + 4 * 5^2 + 2 * 5^1 + 1 * 5^0.

236 s'écrit 1421 en base 5.

On voit que c'est fastidieux et que ça demande de savoir un peu manipuler les puissances. En plus, on a vite fait de faire des erreurs (d'ailleurs, y'en avait,

je m'en suis aperçu en vérifiant le résultat final).

J'espère que ça va t'aider à comprendre les écritures en base. On peut utiliser toutes les bases pour écrire 237: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc...

La base 2, qui s'écrit avec uniquement des 1 et des 0, s'appelle le binaire. La base 10, qui s'écrit avec les nombres de 0 à 9 s'appelle la base décimale.

[Dominique]

Chez nous, on utilise la base 10, elle est super bien faite, très naturelle...

Une petite remarque : notre système décimal n'est pas plus intéressant que les autres (utiliser la base douze serait, je pense, plus intéressant, mathématiquement parlant, car douze a plus de diviseurs que dix).

Le nombre dix n'a rien de particulier au niveau mathématique.

La seule raison que nous avons d'utiliser la base dix c'est que nous avons dix doigts.

Sinon, tout à fait d'accord avec tes explications.

Voir peut-être aussi : http://pernoux.perso.orange.fr/bases.pdf

[myl]

Merci "cerdrick" .. ton explication et ton exemple m'ont beaucoup aidé !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[LuteceOrgiaque]

Pour ma part, j'ai un peu plus compris avec le PDF de Dominiqe mais ça reste très nébuleux.

Mon prof m'a donné une feuille d'exercices, les 1eres questions ça peut aller, mais dès qu'il introduit une formule mathématique ou une lettre, c'est la catastrophe et je n'arrive jamais à résoude la fin d'un exercice à cause de cela en bases.

Mon prof a constaté ma lacune, mais, au lieu de m'encourager, m'a dit que , si je n'arrivais pas à résoudre un exercice, c'était dû à un manque de volonté... super pour une nana qui a passé encore quasiment toute son après-midi pour des maths !

Je vais essae de trouver un camarade pour m'expliquer de nouveau les bases, et le cas échéant si vous connaissez un ouvrage synthétique avec un chapitre bien solide sur les bases, je suis preneuse car, au crd, je n'y ai vu que des annales.

[pistouille]

Cédrick, l'accent circonflexe c'est le signe pour puissance c'est ça moi aussi je bloque pour les bases !

[dooka]

sinon, le tome 2 DES Bouquins du CNED est assez bien fait pour cela.