geométrie

[maricat31]

voila le sujet:

"soit un trapèze ABCD tel que : - il soit rectangle en A et B

- le segment AB mesure a +b

- le segment AD mesure a

- le segment BC mesure b

Placer I sur AB tel que AI = b et IB = a; on appelle c la mesure de DI.

On admet que les triangles AID et IBC sont superposables.

Démontrer que l'angle DIC est droit.

voila, je bloque à cette question, merci pour votre aide.

[Dominique]

La démonstration suivante suppose que a > b (on peut écrire une démonstration "analogue" dans le cas où a < b) (ajouté le 31/10)

1°) Soit H le projeté orthogonal de C sur [AD].

CHD est un triangle rectangle en H et donc, d'après le théorème de Pythagore, CD² = CH² + HD² = BA² + HD² (CH est égal à BA car ABCH est un rectangle puisque c'est un quadrilatère ayant trois angles droits).

D'où : CH² CD² = (a + b)² + (a - b)² (HD est égal à a - b car HD = AD - AH = AD - BC) (étourderie corrigée le 31/10/08)

D'où : CH² CD² = a² + 2ab + b² + a² -2ab + b² = 2(a² +b²) = 2c² (a² + b² = c² d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle IAD rectangle en A).

2°) Par ailleurs : IC² + ID² = c² + c² = 2c² (IC = c car les triangles AID et BCI sont superposables d'après l'énoncé).

3°) Conclusion : en comparant les résultats trouvés au 1°) et au 2°), on peut affirmer que CH² CD² = IC² + ID² donc, d'après le thérème réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CID est rectangle en I donc est un angle droit.

[maricat31]

merci beaucoup Dominique!!

J'avais pas du tout pensé à ça....c'est pas évident

Merci encore.

[schwa]

merci beaucoup Dominique!!

J'avais pas du tout pensé à ça....c'est pas évident

Merci encore.

J'avais plus simple moi, si je ne me suis pas trompée dans ma figure.

On a l'angle ADI + angle AID = 90° puisque le triangle est rectangle en A et que la somme des angles = 180°

De même dans le triangle BCI, angle BIC + angle BCI = 90° (même raison que précédemment)

de plus, on a les triangles ADI et BCI superposables, avec BI=AD et AI=BC, on a angle BIC=angleADI et angle BCI=angleAID

donc AID+BIC=90° et comme A, I, B sont alignés, alors l'angles AIB = 180°

Et angles DIC = 180° - angleBIC - angleAID = 180° - 90° = 90°

Donc DIC est un angle droit. CQFD

J'espère que c'est juste et que ça peut t'aider, j'ai trouvé cette solution plus simple à retrouver que celle de Dominique. Car il fallait y penser !

[Dominique]

J'avais plus simple moi, si je ne me suis pas trompée dans ma figure.

.../...

Tu as raison c'est beaucoup plus simple et beaucoup plus élégant que ma démonstration (et en plus il y avait une erreur d'étourderie dans ma démonstration que j'ai corrigée ; voir mon précédent message).

J'ai l'impression d'avoir été un peu shadock sur ce coup-là (les "p'tits jeunots" ne connaissant peut-être pas les shadocks , je redonne une de leurs devises : "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?")

Et pour ceux qui sont trop jeunes pour avoir eu la chance de voir les shadocks à la télé, visiter, par exemple, ce site : http://jihane.berrada.free.fr/shadocks/pag8.html