encore des maths...

[catmary]

Voilà l'énoncé

Déterminer le nombre entier N satisfaisant simultanément aux 3 conditions ci dessuo

N est divisible par 6

N n'est pas divisible par 8

N a exactemtn 15 diviseurs

On rappelle que,, si la déompostion d'un nombre en facteurs premiers est de la form A puissance a, B puissance b, C puissance c... alors le nombre de ses diviseurs est (a +1 ) (b+1 ) (c+1 )...

CORRECTION :P

N est sous la forme

A puissance a, B puissance b, C puissance c... ca r se décompose en un produit de facteur premiers

N étant divisible par 6, il est divisible par 2 et par 3 d'où A = 2 et B = 3

N n'étant pas divisible par 8, comme 8 = 2 puissance 3 alors a inféreur a 3 d'où a = 1 ou a = 2

de plus N a exactement 15 diviseurs donc (a+1)(b+1)(c+1) ....=3*5

ON en déduit que

N ne possède pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3 et C=0

que a+1 = 3 et b+1 =5

N = 2 puissance 2 *3 puissance ' = 324

on peut vérifier ...

je ne comprend pas l'histoire du nombre de diviseurs est-ce que qq sait ?????

[courage]

N n'étant pas divisible par 8, comme 8 = 2 puissance 3 alors a inféreur a 3 d'où a = 1 ou a = 2

moi c'est cette phrase que je ne comprends pas..... _bl_sh_

[maryl]

Dur dur ...

Pour les diviseurs effectivement il n'y a que 2 façons de décomposer 15 : 3*5 ou 5*3.

De ça on tire :

1- (A+1)(B+1)(C+1)... on ne peut avoir que 2 facteurs, l'un égal à 3 et l'autre à 5

2- Comme A+1 < 4 puis que A <3 ont a forcément A+1 = 3 d'où B+1 = 5

Donc A=2 et B=4

d'où N = 2² * 3exp4

[maryl]

N n'étant pas divisible par 8, comme 8 = 2 puissance 3 alors a inféreur a 3 d'où a = 1 ou a = 2

moi c'est cette phrase que je ne comprends pas..... _bl_sh_

On sait que N=2exp(A) * 3exp(B) * Cexp©

et 8 = 2exp(3)

si A >= 3 alors N serait divisible par 8 puisqu'on pourrait l'écrire

N=2exp(3)*2exp(A-3) * 3exp(B) * Cexp© or on ne le veut pas donc A <3. N est divisible par 2 donc A > 0 d'où A =1 ou A=2

[Dominique]

Bonjour,

Remarque préalable :

L'énoncé "rappelle" un théorème :

"si la décompostion d'un nombre en facteurs premiers est de la forme

( A puissance a )×( B puissance b )×( C puissance c )x... alors le nombre de ses diviseurs est (a +1 )(b+1 )(c+1 )..."

Il ne s'agit pas de démontrer ce théorème mais de comprendre ce qu'il signifie et de pouvoir l'utiliser :

Exemple : 12 = (2 puissance 2) x (3 puissance 1)

Donc, d'après le théorème, 12 a exactement ( 2 + 1 )( 1 + 1 ) soit 6 diviseurs.

On peut vérifier que c'est bien le cas car les diviseurs de 12 sont

1, 2, 3, 4, 6, 12.

Solution de l'exercice :

N est un multiple de 6 donc la décomposition en nombre permier de N comprend au moins un 2 et un 3 et donc est du genre :

( 2 puissance a) x ( 3 puissance b ) × (C puissance c ) × ...

Le nombre de diviseurs de N est alors égal à

( a + 1 ) × ( b + 1 ) × ( c + 1 ) × ....

Or ce nombre de diviseurs doit être égal à 15 qui est un nombre impair donc a, b, c, etc. doivent être tous pairs sinon soit (a + 1) soit (b + 1) soit (c + 1) soit ... serait pair ce qui est impossible puisque 15 est impair.

Donc a vaut 2 ou 4 ou 6 ou ...

Mais il est impossible que a soit supérieur ou égal à 3 car, si c'était le cas,

( 2 puissance a), qui est un des facteurs de la décomposition de N en nombres premiers, serait un multiple de 8 et N serait donc également un multiple de 8 ce qui n'est pas le cas, par hypothèse.

La seule possibilté qui reste est donc a = 2.

Donc le nombre de diviseurs de N est égal à 3 x (b + 1) x (c + 1) x ... avec b supérieur ou égal à 2.

Mais il n'y a qu'une manière d'écrire 15 comme un produit de facteurs (dont l'un des facteurs est différent de 1) : 15 = 3 × 5

On en déduit que b= 4 et que c = 0, d=0, etc.

N vaut donc (2 puissance 2) x (3 puissance 4) soit 324.

[catmary]

merci avec l'exemple de 12 c'est plus clair..