problème de méthode

[bulles]

Bonjour à tous,

J'aimerais trouver de l'aide au niveau méthodologique pour résoudre ce style d'exercice, celui-ci provient du sujet de concours 2008 groupement 4, voici l'énoncé de l'exo en entier :

"On cherche tous les nombres entiers naturels de cinq chiffres vérifiant les deux conditions suivantes :

a) leur écriture décimale n'utilise que deux chiffres différents,

b) la somme de leurs cinq chiffres est égale à 11.

1) Les chiffres 1 et 3 permettent d'écrire de tels nombres : en donner la liste complète.

2) Trouver toutes les autres paires de chiffres possibles pour écrire les nombres cherchés.

3) Combien y a-t-il de nombres entiers de cinq chiffres vérifiant les conditions a) et b) ?"

Comment organiser la réponse pour donner toutes les possibilités ? Je n'y arrive jamais.

Merci de votre aide.

[Lily39]

Pour le 1) je ferais un arbre de choix et je trouve ainsi 32 réponses :

11111, 11113, 11131, 11133, 11311, 11313, 11331, 11333, 13111, 13113, 13131, 13133, 13311, 13313, 13331, 13333, 31111, 31113, 31131, 31133, 31311, 31313, 31331, 31333, 33111, 33113, 33131, 33133, 33311, 33313, 33331, 33333.

Pour la suite je réfléchis . . .

[Lily39]

Pour le 1) je ferais un arbre de choix et je trouve ainsi 32 réponses :

11111, 11113, 11131, 11133, 11311, 11313, 11331, 11333, 13111, 13113, 13131, 13133, 13311, 13313, 13331, 13333, 31111, 31113, 31131, 31133, 31311, 31313, 31331, 31333, 33111, 33113, 33131, 33133, 33311, 33313, 33331, 33333.

Pour la suite je réfléchis . . .

Je rectifie, je suis allé trop vite, j'ai oublié une variable : la somme des chiffres égales 11.

Donc j'ai une écriture sous cette forme : 3x + 1y = 11. Je fais un tableau où je fixe par exemple la variable "le nombre de chiffre 3", en sachant que le nombre de chiffre 3 + le nombre de chiffre 1 est égale à 5 (car on cherche un nombre de 5 chiffres). Je ne trouve qu'une possibilité, il y a 3 chiffres 3 et 2 chiffres 1. J'effectue un arbre de choix : 11333, 13133, 13313, 13331, 33311, 33113, 31133, 31331, 31313, 33131.

C'est bien ça ?

[Lily39]

2) il y a surement plus simple que ma méthode mais voilà ce que je ferais :

11= 1+10

11= 2+9

11= 3+8

11= 4+7

11= 5+6

Je reprend les décompositions additives et je cherche à les écrire sous la forme ax + by où a + b = 5 (nombre de 5 chiffres et où x et y seront les paires de chiffres possibles)

2+9 = 2*1 + 3*3 -> solution du 1)

3+8 = 1*3 + 4*2

3+8 = 3*1 + 2*4

Donc les réponses sont les nombres à 5 chiffres formés de un chiffre 3 et quatre chiffres 2 et ceux formés par trois chiffres 1 et deux chiffres 4.

En effectuant un arbre de choix :

32222, 23222, 22322, 22232, 22223

11144, 11414, 11441, 14114, 14141, 14411, 41114, 41141, 41411, 44111

Etes vous d'accord? , avez-vous un moyen plus rapide?

[Lily39]

Pour le 3) les réponses sont celles du 1) + 2) ? ?

[zitoune]

Bonjour à tous,

J'aimerais trouver de l'aide au niveau méthodologique pour résoudre ce style d'exercice, celui-ci provient du sujet de concours 2008 groupement 4, voici l'énoncé de l'exo en entier :

"On cherche tous les nombres entiers naturels de cinq chiffres vérifiant les deux conditions suivantes :

a) leur écriture décimale n'utilise que deux chiffres différents,

b) la somme de leurs cinq chiffres est égale à 11.

1) Les chiffres 1 et 3 permettent d'écrire de tels nombres : en donner la liste complète.

2) Trouver toutes les autres paires de chiffres possibles pour écrire les nombres cherchés.

3) Combien y a-t-il de nombres entiers de cinq chiffres vérifiant les conditions a) et b) ?"

Comment organiser la réponse pour donner toutes les possibilités ? Je n'y arrive jamais.

Merci de votre aide.

Bonjour,

1) Je trouve aussi 10 nombres de 5 chiffres avec 1 et 3

2) Pour les autres possibilités je trouve:

-avec la paire 2 et 3 : 22223 - 22232 - 22322 - 23222 - 32222 (5 nombres)

-avec la paire 4 et 1 : 44111 - 41411 - 41141 - 41114 - 14411 - 14141 - 14114 - 11441 - 11414 - 11144 (10 nombres )

3) Je trouve donc 25 nombres entiers de 5 chiffres qui vérifient les conditions a) et b)

Malheureusement je n'ai pas de méthode rapide pour chercher toutes les possibilités mais j'ai procédé de la manière suivante :

- recherche des couples (a,b)

les possibilités sont : 4a + b ou 3a + 2b ou 2a + 3b ou a + 4b.

Quand j'ai trouvé le/les couples qui permettent d'écrire un nombre de 5 chiffres dont la somme égale 11, j'essaie toutes les possibilités (aabbb ; ababb ; abbab ; abbba ).

Si quelqu'un trouve d'autres possibilités, je suis preneuse.

A bientôt

[bulles]

Merci pour vos réponses