Problème d'arthmétique

[JulieR]

Bonjour à tous

J'ai un problème avec un sujet de maths et je galère depuis un moment dessus

Voici l'énoncé :

Dans cet exercice, on ne considère que des entiers naturels.

1) Montrer que le somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.

2)Soit N un nombre somme de 4 entiers consécutifs. Montrer que N-2 est multiple de 4.

Avec quelle condition sur N le réciproque est-elle vraie?

3) La somme de 51 nombres entiers consécutifs est 1785. quels sont ces nombres?

(indication : on rappelle que pour tout entier p, on a 1+2+...+p= p(p+1)/2 ).

Merci d'avance

[ammca]

Bonjour à tous

J'ai un problème avec un sujet de maths et je galère depuis un moment dessus

Voici l'énoncé :

Dans cet exercice, on ne considère que des entiers naturels.

1) Montrer que le somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.

Dans ce type d'exo : il faut utiliser = n

alors :

n +(n+1) + (n+2) = 3 + 3n = 3 x ( n+1) ---> donc la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3 puisque multiplié par 3.

la bique en maths qui résoud des exos !!! mdr

2)Soit N un nombre somme de 4 entiers consécutifs. Montrer que N-2 est multiple de 4.

Avec quelle condition sur N le réciproque est-elle vraie?

Essaie avec le même système... construction de ses apprentissages

3) La somme de 51 nombres entiers consécutifs est 1785. quels sont ces nombres?

(indication : on rappelle que pour tout entier p, on a 1+2+...+p= p(p+1)/2 ).

Merci d'avance

[Dominique]

1) Montrer que le somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.

Trois nombres entiers naturels consécutifs quelconques peuvent être écrit n-1, n et n +1 (n étant un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1).

La somme de ces trois entiers est égale à (n - 1) + n + (n + 1) soit 3n qui est un multiple de 3.

2)Soit N un nombre somme de 4 entiers consécutifs. Montrer que N-2 est multiple de 4.

Quatre nombres entiers naturels consécutifs quelconques peuvent être écrit n, n + 1, n + 2 et n + 3 (n étant un entier naturel quelconque).

N - 2 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) - 2 = 4n + 6 - 2 = 4n + 4 = 4(n + 1) qui est un multiple de 4.

Avec quelle condition sur N le réciproque est-elle vraie?

0n suppose donc que N - 2 est un multiple de 4. On en déduit que N - 2 = 4p (p étant un entier naturel quelconque) et on cherche à quelle condition N est la somme de quatre entiers consécutifs.

N est la somme de quatre entiers consécutifs s'il peut être écrit sous la forme n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) avec n entier naturel donc s'il peut être écrit 4n + 6 avec n entier naturel.

On cherche donc à quelle condition on peut trouver n entier tel que 4n + 6 = N donc à quelle condition on peut trouver n entier naturel tel que 4n + 6 = 4p + 2 donc à quelle condition on peut trouver n entier tel que 4n = 4p - 4 soit encore tel que 4n = 4(p - 1) soit encore tels que n = p - 1.

C'est possible dès que p est supérieur ou égal à 1 c'est-à dire dès que N est supérieur ou égal à 6.

Exemples :

p = 0 donc N = 2. N - 2, qui vaut 0, est bien un multiple de 4 mais N n'est pas la somme de quatre entiers naturels consécutifs

p = 1 donc N = 6. N - 2, qui vaut 4, est bien un multiple de 4 et N = 0 + 1 + 2 + 3

p = 2 donc N = 10. N - 2, qui vaut 8, est bien un multiple de 4 et N = 1 + 2 + 3 + 4

p = 3 donc N = 14. N - 2, qui vaut 12, est un multiple de 4 et N = 2 + 3 + 4 + 5

etc.

3) La somme de 51 nombres entiers consécutifs est 1785. quels sont ces nombres?

(indication : on rappelle que pour tout entier p, on a 1+2+...+p= p(p+1)/2 ).

Soit n, n + 1, n + 2, ..., n + 50 les 51 nombre entiers successifs cherchés.

1 + 3 + .... + (n + 50) = 1 + 2 + n + ... (n - 1) + n + (n + 1) + ... + (n + 50)

Donc (en utilisant deux fois la formule rappelée dans l'énoncé) :

[(n + 50) x (n + 51)] / 2 = [(n - 1) × n] / 2 + 1785

On résout cette équation et, tous calculs faits (non reproduits ici), on trouve n = 45. (message corrigé le 15 février)

Les nombres cherchés sont donc les entiers naturels consécutifs de 45 à 95 (45 et 95 compris). (message corrigé le 15 février)

Correction le 15 février :

L'équation s'écrit : n² + 50n + 51n + 50 x 51 = n² - n + 3750 soit 101n + 2550 = - n + 3570 soit 102n = 1020. D'où n = 10.

Les nombres cherchés sont donc les entiers consécutifs de 10 à 60 (10 et 60 compris)

[Nounoursinho]

Je suis d'accord pour les deux premiers.

Mais pour le dernier, je trouve cela assez compliqué d'autant plus que je trouve une réponse différente.

La somme de 51 entiers = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+50)

= 51n +(50*51)/2 car on a 51 nombres

Donc 1 785 = 51n + 1275

1 785 - 1275 = 51n

510 = 51n

10 = n

Les 51 entiers donnant par suite consécutive 1 785 sont les nombres allant de 10 à 60 inclus.

[Dominique]

Mais pour le dernier, je trouve cela assez compliqué

Tu as raison ; la méthode que tu proposes est beaucoup plus simple.

d'autant plus que je trouve une réponse différente.

La méthode que j'ai proposée, qui est plus compliquée que celle que tu as utilisée, fonctionne mais j'avais fait une erreur de calcul à la fin dans la résolution de l'équation que j'avais trouvée (erreur de calcul non visible dans mon message car je n'avais pas reproduit les calculs... faits trop rapidement).

Suite à ton message, j'ai modifié le mien. On constate que les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Merci de m'avoir permis de trouver l'erreur que j'avais commise.

[doudou]

2)Soit N un nombre somme de 4 entiers consécutifs. Montrer que N-2 est multiple de 4.

Quatre nombres entiers naturels consécutifs quelconques peuvent être écrit n, n + 1, n + 2 et n + 3 (n étant un entier naturel quelconque).

N - 2 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) - 2 = 4n + 6 - 2 = 4n + 4 = 4(n + 1) qui est un multiple de 4.

pourquoi - 2

Avec quelle condition sur N le réciproque est-elle vraie?

0n suppose donc que N - 2 est un multiple de 4. On en déduit que N - 2 = 4p (p étant un entier naturel quelconque) et on cherche à quelle condition N est la somme de quatre entiers consécutifs.

je n'ai pas compris cette partie

N est la somme de quatre entiers consécutifs s'il peut être écrit sous la forme n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) avec n entier naturel donc s'il peut être écrit 4n + 6 avec n entier naturel.

On cherche donc à quelle condition on peut trouver n entier tel que 4n + 6 = N donc à quelle condition on peut trouver n entier naturel tel que 4n + 6 = 4p + 2 donc à quelle condition on peut trouver n entier tel que 4n = 4p - 4 soit encore tel que 4n = 4(p - 1) soit encore tels que n = p - 1.

C'est possible dès que p est supérieur ou égal à 1 c'est-à dire dès que N est supérieur ou égal à 6.

Exemples :

p = 0 donc N = 2. N - 2, qui vaut 0, est bien un multiple de 4 mais N n'est pas la somme de quatre entiers naturels consécutifs

p = 1 donc N = 6. N - 2, qui vaut 4, est bien un multiple de 4 et N = 0 + 1 + 2 + 3

p = 2 donc N = 10. N - 2, qui vaut 8, est bien un multiple de 4 et N = 1 + 2 + 3 + 4

p = 3 donc N = 14. N - 2, qui vaut 12, est un multiple de 4 et N = 2 + 3 + 4 + 5

etc.

je n'ai pas trop compris cet exercice

[doudou]

Je suis d'accord pour les deux premiers.

Mais pour le dernier, je trouve cela assez compliqué d'autant plus que je trouve une réponse différente.

La somme de 51 entiers = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+50)

= 51n +(50*51)/2 car on a 51 nombres

Donc 1 785 = 51n + 1275

1 785 - 1275 = 51n

510 = 51n

10 = n

Les 51 entiers donnant par suite consécutive 1 785 sont les nombres allant de 10 à 60 inclus.

comment tu as fait pour trouver 60

[Dominique]

comment tu as fait pour trouver 60

n vaut 10 et les 51 nombres cherchés successifs sont les nombres n, n+1, n+2, ..., n+50 donc le dernier nombre vaut 60.

[MAF]

Soit N un nombre somme de 4 entiers consécutifs. Montrer que N-2 est multiple de 4.

Quatre nombres entiers naturels consécutifs quelconques peuvent être écrit n, n + 1, n + 2 et n + 3 (n étant un entier naturel quelconque).

N - 2 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) - 2

= 4n + 6 -2

=4n + 4

= 4(n + 1) qui est un multiple de 4.

Alors pourquoi le -2? et bien car au départ tu calcules la différence de N et 2.

quand tu peux écrire un entier comme étant le produit de 4 et d'un autre entier alors il est multiple de 4.

prenons un exemple:

4, 5, 6 et 7 sont 4 entiers consécutifs

-> N = somme des 4 entiers consécutifs = 4+5+6+7 = 22

-> N-2 = somme des 4 entiers - 2 = 22- 2 = 20

or 20 = 4* 5 donc 20 est multiple de 4

Avec quelle condition sur N le réciproque est-elle vraie?

0n suppose donc que N - 2 est un multiple de 4.

On en déduit que N - 2 = 4p (p étant un entier naturel quelconque) et on cherche à quelle condition N est la somme de quatre entiers consécutifs.

on a montré à la première question que :

"Si N est la somme de 4 entiers consécutifs alors N-2 est un multiple de 4" ie N-2 = 4* (n+1)

La réciproque de de cette phrase est la suivante:

"Si N-2 = 4 * p , p un entier alors N est la somme de 4 entiers consécutifs" ie on inverse l'odre de la phrase

N est la somme de quatre entiers consécutifs s'il peut être écrit sous la forme

N = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) avec n entier naturel

donc N = 4n + 6

On cherche donc à quelle condition on peut trouver n qui doit être un entier

or on veut que N - 2 = 4* p -> N = 4* p + 2

donc 4n + 6 = 4p + 2

donc 4n = 4p - 4

donc 4n = 4(p - 1)

donc n = p - 1.

or p doit être un entier donc il faut que p soit supérieur ou égal à 1

or N = 4*p +2

donc 4* p est supérieur ou égal à 4*1

donc 4* p +2 est supérieur ou égal à 4* 1 +2

donc N est supérieur ou égal à 6

Les exemples:

on se sert du fait que N= 4* p

p = 0 donc N = 2. N - 2, qui vaut 0, est bien un multiple de 4 mais N n'est pas la somme de quatre entiers naturels consécutifs

p = 1 donc N = 6. N - 2, qui vaut 4, est bien un multiple de 4 et N = 0 + 1 + 2 + 3

p = 2 donc N = 10. N - 2, qui vaut 8, est bien un multiple de 4 et N = 1 + 2 + 3 + 4

p = 3 donc N = 14. N - 2, qui vaut 12, est un multiple de 4 et N = 2 + 3 + 4 + 5

[Dominique]

Ajout après première publication du message : j'ai écrit ce message en même temps que celui de MAF. Désolé pour le doublon.

Quatre nombres entiers naturels consécutifs quelconques peuvent être écrit n, n + 1, n + 2 et n + 3 (n étant un entier naturel quelconque).

N - 2 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) - 2 = 4n + 6 - 2 = 4n + 4 = 4(n + 1) qui est un multiple de 4.

pourquoi - 2

L'énoncé demande de démontrer que N - 2 est un multiple de 4 donc on calcule N - 2.

0n suppose donc que N - 2 est un multiple de 4. On en déduit que N - 2 = 4p (p étant un entier naturel quelconque) et on cherche à quelle condition N est la somme de quatre entiers consécutifs.

je n'ai pas compris cette partie

L'énoncé demande à quelle condition sur N la réciproque est vraie.

Se demander à quelle condition sur N la réciproque est vraie c'est chercher ce que doit vérifier N pour que, si on suppose que N - 2 est un multiple de 4, alors on puisse en déduire que N est la somme de 4 entiers consécutifs.

On suppose donc que N - 2 est un multiple de 4 (ce qui, par définition même de la notion de multiple, veut dire qu'on suppose que N - 2 s'écrit 4p avec p entier) et on cherche ce que doit vérifier N pour qu'à partir de cette hypothèse (N - 2 = 4p) on puisse en déduire que N est la somme de 4 entiers consécutifs.

[MAF]

c'est la course.... à la réponse!

[doudou]

comment tu as fait pour trouver 60

n vaut 10 et les 51 nombres cherchés successifs sont les nombres n, n+1, n+2, ..., n+50 donc le dernier nombre vaut 60.

merci pour cette réponse là à l'évidence je n'ai pas trop réfléchi