exercice iufm

[kristele66]

petit soucis pour résoudre cet exercice

les nombres a,b ,c sont des nombres entiers tels que 0<a <=b<=c

on suppose que a,b,c sont les mesures de longueur des côtés d'un triangle rectangle

montrez que l'un au moins de ces 3 nombres est pair

j'ai tenté en supposant a=1 b=3 et donc calcul de c par Pythagore mais à chaque fois même en prenant a=3 et b=5 j'obtiens des racines carrés qui sont des nombres impairs

je suis bloquée

[lilaille]

Bon alors moi j'en suis là dans le raisonnement mais je vois pa splus loin !

C est forcément l'hypothénuse car dans un triangle rect c'est le côté le plus grand

c²=a²+b²

c= rac(a²+b²)

rac(a²+b²) doit appartenir à N par hypothèse

donc a²+b² doit être du type n*n

[Dominique]

1°) Remarques préalables :

- les nombres pairs ont des carrés pairs [car (2n)² = 4n² = 2(2n²)] et les nombres impairs ont des carrés impairs [car (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1]

- la somme de deux nombres impairs est un nombre pair [car (2n + 1) + (2p + 1) = 2n + 2p + 2 = 2(n + p + 1)].

2°) Solution du problème posé :

Si on suppose que a, b et c sont les mesures de longueur des côtés d'un triangle rectangle alors c est nécessairement la mesure de la longueur de l'hypoténuse de ce triangle (car 0 < a b c).

On a donc c² = a² + b².

Les nombres a, b et c ne peuvent pas être tous les trois impairs car si c'était le cas a² et b² seraient impairs et c² qui est égal à la somme de ces deux nombres serait pair ce qui est incompatible avec le fait que c soit impair.

Comme les nombres ne peuvent pas être tous les trois impairs on en déduit qu'au moins un d'entre eux est pair.

[lilaille]

[kristele66]

1°) Remarques préalables :

- les nombres pairs ont des carrés pairs [car (2n)² = 4n² = 2(2n²)] et les nombres impairs ont des carrés impairs [car (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1]

- la somme de deux nombres impairs est un nombre pair [car (2n + 1) + (2p + 1) = 2n + 2p + 2 = 2(n + p + 1)].

2°) Solution du problème posé :

Si on suppose que a, b et c sont les mesures de longueur des côtés d'un triangle rectangle alors c est nécessairement la mesure de la longueur de l'hypoténuse de ce triangle (car 0 < a b c).

On a donc c² = a² + b².

Les nombres a, b et c ne peuvent pas être tous les trois impairs car si c'était le cas a² et b² seraient impairs et c² qui est égal à la somme de ces deux nombres serait pair ce qui est incompatible avec le fait que c soit impair.

Comme les nombres ne peuvent pas être tous les trois impairs on en déduit qu'au moins un d'entre eux est pair.

merci en fait si j'ai bien saisi la somme du carré de deux nombres est forcément pair

[Dominique]

merci en fait si j'ai bien saisi la somme du carré de deux nombres est forcément pair

Non : si a est pair et b est impair alors a² est pair et b² est impair ; donc a² + b² est impair (car la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impair).

[kristele66]

merci

donc pour le cas de l'exercice il suffit de dire que si a et b deux nombres impairs alors a²+b²= c un nombre pair

[Dominique]

merci

donc pour le cas de l'exercice il suffit de dire que si a et b deux nombres impairs alors a²+b²= c un nombre pair

Remarque préalable : je pense que tu voulais écrire a²+b²= c².

La somme des carrés de deux nombres impairs est effectivement un nombre pair mais pour répondre au problème posé c'est délicat : on ne peut pas partir du principe que a et b sont nécessairement tous les deux impairs car on peut avoir a pair et b impair comme dans cet exemple : a = 3, b= 4 et c=5.

D'où le raisonnement par l'absurde que j'ai reproduit dans mon précédent message.

Autre manière de raisonner peut-être plus facile à comprendre : on examine tous les cas possibles.

Si a est pair et b est pair alors c est pair.

Si a est pair et b est impair alors c est impair.

Si a est impair et b est pair alors c est impair.

Si a est impair et b impair alors c est pair.

On peut alors en déduire que, dans tous les cas, l'un au moins des 3 nombres est pair.

[Lukas]

Merci Domi, je comprends mieux avec ton dernier raisonnement.

[kristele66]

merci tout est plu clair