Théorème de divisibilité en base 6

[VB3D]

J'ai fait un exercice où je devais montrer que des chiffres en base 6 était multiple de 5.

Ex : 555 (sans barre) exposant 6 = 5x6exp2 + 5x6 + 5 = 215 (en base 10)

Cependant, il me demande après de proposer un théorème de divisibilité par 5 :

Moi j'ai proposé :

Un nombre, en base 6, est un multiple de 5, si et seulement si, son chiffre des unités est 0 ou 5.

Mais pour eux, voici la solution et je ne vois pas le rapport et comment ce théorème peut être déduis :

" Un nombre, écrit en base 6, est un multiple de 5 si et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 5"

Pour moi, ce théorème s'applique en base 10 pour les multiples de 3 seulement, je vois pas le rapport avec la base 6 et les multiples de 5.

Pouvez vous m'aider à comprendre la déduction ??

Merci d'avance

[Charivari]

Tu ne peux pas transposer à la base 6 les théorèmes de la base 10.

Par exemple, en base 6, un nombre qui se termine par 0 est divisible par... 6 (et non par 5 ou 10). C'est logique : si son chiffre des unités est 0, c'est que ce nombre est composé de plein de "paquets de 6" et d'aucune unité "toute seule".

Ce type de problème se résout toujours de la même manière : tu passses par l'écriture polynomiale du nombre.

Soit abc un nombre en base 6 (donc a b et C sont inférieurs à 6)

abc = c + 6b + 36a (1)

(là, si tu cherches à quoi il doit ressembler pour être divisible par 5, tu dois chercher à faire apparaitre une expression du type 5k)

(1) c + 6 b + 36 a

= c + (5+1) b + (35+1) a

= c + 5 b + b + 35 a + a

= a+b+c + 5 (b+7a)

La partie rouge est de la forme 5k donc elle est divisible par 5.

Donc pour que abc soit multiple de 5 il faut que a+b+c soit multiple de 5. Autrement dit, il faut que la somme de ses chiffres soit multiple de 5. CQFD.

Ca va ou bien c'est du charabia ?

[Dominique]

Pour compléter la réponse de Charivari, tu devrais trouver une proposition de corrigé de tout l'exercice ici :

http://pernoux.perso.orange.fr/cororleans.pdf

(à condition que l'énoncé soit bien celui-ci : http://pernoux.perso.orange.fr/orleans.pdf)

[Lukas]

Merci pour cette explication Charivari ... moi j'ai compris

Et merci Domi pour les exercices, ça fait pas de mal de s'entrainer ^^

[VB3D]

Je crois que j'ai compris...

Mais j'aurai jamais réussi à déduire cette théorie toute seule.

Je suis perdu dans ce genre de déduction et je sais pas comment m'améliorer car même en comprenant, je passe à un autre exercice et je bute de nouveau.

Merci pour votre aide en tout cas.

[VB3D]

Donc pour que abc soit multiple de 5 il faut que a+b+c soit multiple de 5. Autrement dit, il faut que la somme de ses chiffres soit multiple de 5. CQFD.

Charivari, ya que le passage que je viens de souligner que je suis pas sur de comprendre. Pourquoi la somme de ses chiffre doit être multiple de 5 et pas tout simplement que le chiffre des unités se termine par 5 ???

Merci Dominique pour le lien, j'ai les détails maintenant pour une meilleure compréhension.

[Charivari]

Donc pour que abc soit multiple de 5 il faut que a+b+c soit multiple de 5. Autrement dit, il faut que la somme de ses chiffres soit multiple de 5. CQFD.

Charivari, ya que le passage que je viens de souligner que je suis pas sur de comprendre. Pourquoi la somme de ses chiffre doit être multiple de 5 et pas tout simplement que le chiffre des unités se termine par 5 ???

Ben si le nombre s'écrit abc et qu'on démontre qu'il faut que a+b+c soit multiple de 5, ça veut dire qu'il faut que la somme de ses chiffers soit multiple de 5. a, b et c se sont les chiffres avec lesquels on écrit le nombre abc. Tu comprends ?

Par exemple le nombre 244 (base 6) est multiple de 5, parce que 2+4+4, ça fait 10, et 10 est multiple de 5.

433 aussi (4+3+3 est multiple de 5).

On peut vérfier :

244, écrit en base 6, c'est, en base 10 :

2x36 + 4x6 + 4 = 72 + 24 + 4 = 100 qui est bien multiple de 5.

433 base 6 c'est

4 x 36 + 3 x 6 + 3 = 144 + 18 + 3 = 165 qui est bien multiple de 5

[VB3D]

Merci , j'ai compris avec tes explications.

Ce théoreme est valable qu'en base 6 ou toute base par contre ?

[Charivari]

Merci , j'ai compris avec tes explications.

Ce théoreme est valable qu'en base 6 ou toute base par contre ?

La logique de démonstration est valable dans toutes les bases, mais la conclusion "un nombre en base 6 est divisible par 5 si la somme de ses chiffres est divisible par 5 n'est valable que pour la base 6 (et il ne faut pas l'apprendre, hein ! il faut savoir le retrouver, dans n'importe quelle base)

Il y a des critères de divisibilité qui sont plus difficiles à démontrer, en fonction de la base dans laquelle tu travailles, mais au concours, on ne demande que les critères plutôt simples comme celui là.

[VB3D]

Je suis pas sur des les retrouver par moi meme, le souci est la car si tu m'avais pas guidé, j'y serai encore...

Merci en tout cas

Bon courage à toi pour tes révisions

[Charivari]

Bon courage à toi pour tes révisions

Je ne révise plus, j'ai eu le concours en 2007

Bon courage à toi !

Je te conseille, avant de faire les exercices "type concours", de revenir à des exercices plus simples, du genre des "activités préparatoires" du Hatier.

Pour les bases, il faut que tu saches par exemple, dire mentalement comment le nombre 14 s'écrit en base 5 ou 7 (ou 13 !)

Et inversement, il faut savoir mentalement remettre en base 10 un petit nombre écrit dans une autre base.

Par exemple, si je te dis 202, en base 3, tu dois pouvoir te dire "j'ai 2 unités + 2 paquets de 3²" donc 210 en base 3 c'est 20 en base 10.

Tant que ce type de mécanique ne sera pas clair dans ta tête, que tu n'auras pas bien assimilé que la base dans laquelle on travaille ne change pas la quantité dont on parle mais seulement la façon de l'écrire et tout ça, ça sera bien difficile de comprendre les exercices de type concours. Mais après, honnêtement, les exercices se ressemblent beaucoup et restent très accessibles si on a compris les "fondamentaux"

[VB3D]

Merci pour tes conseils. Je vais les suivre et je m'y met de suite.

Comment trouves tu le temps pour nous aider encore maintenant que tu es instit ?? C'est vraiment gentil en tout cas...

Moi, j'attends bcp de ce concours mais j'ai impression de pas travailler comme il faut la plupart du temps. Ya trop de choses à connaître et ma mémoire flanche...

Merci à toi en tout cas.