concours blanc maths

[lilaille]

Oui oui c'est clair... en effet pas simple de faire un tableau sur un forum... je me demandais surtout où tu pioché ton n² qd l'idée surgit de la surface du carré ! La pauvre qui a posté son pb... Elle doit plus rien comprendre

[marfatibi]

Il y a sans doute une astuce dans la définition du terme "carré", qui doit faire que seule une des solutions convienne.

A mon avis, si au concours, le doute est permis, je pense qu'il faut poser l'un des cas comme hypothèse, et expliquer pourquoi on fait ce choix. Mais cela n'arrivera sans doute pas car les sujets sont lus et relus

J'espère que Dominique passera par là pour nous expliquer tout cela.

[marfatibi]

Oui oui c'est clair... en effet pas simple de faire un tableau sur un forum... je me demandais surtout où tu pioché ton n² qd l'idée surgit de la surface du carré ! La pauvre qui a posté son pb... Elle doit plus rien comprendre

Ben non, au contraire, c'est intéressant de voir qu'à partir d'un même sujet il peut y avoir plusieurs interprétations, et nous permettre de faire attention le jour J.

[misspudik]

je suis de ton avis on pourra dder les différentes solutions +les différentes dispositions la ca justifierai une demi heure de temps et les 4points attribués

[Dominique]

L'expression "disposer des jetons en carré" est ambigüe. Je propose donc un corrigé pour chacune des interprétations de l'énoncé (de mon point de vue, on peut, dans une telle situation le jour du concours, donner une seule solution après avoir dit comment on interprète l'énoncé).

1°) Avec des carrés quadrillés et des jetons sur les nœuds des quadrillages :

Soit x le nombre total de jetons.

On peut trouver m entier et n entier tels que x = n² + 81 et x = m² - 75.

On en déduit que m² - n² = 156 donc que (m + n)(m - n) = 156.

Les diviseurs de 156 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156.

Comme m + n > m - n on a donc a priori 6 possibilités :

1ère possibilité : m + n = 156 et m - n = 1. Les solutions ne sont pas des nombres entiers. A rejeter.

2ème possibilité : m + n = 78 et m - n = 2. On trouve m = 40 et n = 38 et alors x = 1525 à rejeter car x < 200.

3ème possibilité : m + n = 52 et m - n = 3. Les solutions ne sont pas des nombres entiers. A rejeter.

4ème possibilité : m + n = 39 et m - n = 4. Les solutions ne sont pas des nombres entiers. A rejeter.

5ème possibilité : m + n = 26 et m - n = 6. On trouve m = 16 et n = 10 et alors x = 181. Solution qui convient.

6ème possibilité : m + n = 13 et m - n = 12. Les solutions ne sont pas des nombres entiers. A rejeter.

Il y a donc une seule solution : 181 jetons.

2°) Avec des jetons régulièrement disposés uniquement sur les pourtours de carrés (et avec des jetons dans les coins des carrés) :

Remarque préalable : attention, s'il y a n jetons sur un côté du carré, il y a en tout 4n - 4 jetons (et pas 4n).

Soit x le nombre total de jetons.

On peut trouver m entier et n entier tels que x = 4n - 4 + 81 et x = 4m - 4 - 75.

On en déduit que 4n - 4 + 81 = 4m - 4 - 75 donc que 4m - 4n = 156 donc que m - n = 39

On a a priori une infinité de solutions en prenant n entier quelconque supérieur ou égal à 2 et m = 39 + n et alors x vaut 4n - 4 + 81 soit 4n + 77.

Mais on doit avoir x < 200 ce qui donne 4n + 77 < 200 soit 4n < 123 soit n < 31 (car n entier).

Les solutions sont tous les nombres x du type 4n + 77 avec n prenant toutes les valeurs entières successives de 2 à 30.

Solutions :

85 jetons, 89 jetons, 93 jetons, ..., 189 jetons, 193 jetons, 197 jetons ("on va de quatre en quatre")

(remarque : il y a 30 - 2 + 1 soit 29 solutions)

[Dominique]

Lilaille pourquoi 4n et 4m ?

parce qu'il y a

n jetons par côté

et qu'un carré a 4 côtés

donc n jetons par 4 côtés = 4*n

Non. S'il y a n jetons pas côté il y a en tout 4n - 4 jetons et pas 4n jetons (il ne faut pas compter deux fois les jetons dans les coins).

[stef8]

bon alors, en essayant sur un brouillon et en partant de:

n²+81<200 ----> n²<119 -----> qd n=10 n²=100 qd n=11 n²=121 dc 0<n<(ou égale) à 10

m²-75<200 -----> m²<275 de même 0 < m <ou égale 16

et en faisant un tableau en partant des valeurs maxi de n et m je trouve

n=10 et m=16 et ce sont les seules solutions (enfin je crois) où n²+81 =m²-75

donc le nbre total de jetons est 181.

voilà ce que j'ai trouvé, si quelqu'un pouvait confirmer ou non....

[emy76]

Merci Dominique !

Mais franchement je redoute ce genre d'exo au concours

[misspudik]

moi j'ai fait a eu près comme toi c qu'ensuite que je me suis dis "vérifie au cas ou" dc g fais le tableau

[Dominique]

Ce qu'il faut retenir de cet exercice :

- si on doit trouver n et p ENTIERS tels que np = m penser que n et p doivent être des diviseurs de m

- si on dispose régulièrement des jetons sur le pourtour d'un carré (avec des jetons dans les coins) et s'il y a n jetons par côté, il n'y a pas en tout 4n jetons mais 4n - 4 jetons.

[lilaille]

Merci !

[stef8]

oui, merci, c'est très appréciable d'avoir des explications et des démarches. bon perso, je n'avais pas pensé au contour mais j'ai bien retenu le " 4n-4" ,car je me suis déjà faite avoir avec un rectangle et des arbres à planter dont 1 à chaque coin

bon si certains ont d'autres petits exos.....qu'on se creuse un peu les méninges