PUISSANCES

[colisseum]

Bonjour ,

Qui peut m'aider à comprendre?

1) Calculer 1+2 puissance 2+ 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + 2 puissance 6

Je trouve 126 Or la correction est 127.

2) On considère la somme S= 1+ 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 +...+2 puissance 63

En calculant 2S-S, exprimer S sous la forme d'une différence d'une puissance de 2 et d'un entier.

Je ne comprends pas pourquoi

2S = 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + ....+2 puissance 63 + 2 puissance 64

C'est surtout le 2 puissance 64.

Merci d'avance.

Colisseum

[schwa]

Bonjour ,

Qui peut m'aider à comprendre?

1) Calculer 1+2 puissance 2+ 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + 2 puissance 6

Je trouve 126 Or la correction est 127.

1+2 puissance 2+ 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + 2 puissance 6 = 1 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 125. Tu n'as pas oublié +2 dans ton énoncé ? Auquel cas on trouve bien 127

2) On considère la somme S= 1+ 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 +...+2 puissance 63

En calculant 2S-S, exprimer S sous la forme d'une différence d'une puissance de 2 et d'un entier.

Je ne comprends pas pourquoi

2S = 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + ....+2 puissance 63 + 2 puissance 64

C'est surtout le 2 puissance 64.

2 S = 2*(1+ 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 +...+2 puissance 63) = 2*1 +2*2 + 2*(2 puissance 2) + ... + 2* (2 puissance 63) = 2 + 2² + 2 puissance 3 ... + 2 puissance 64

car 2 puissance 63 c'est 2*2*2*2...*2 63 fois, donc si tu multiplies par 2, tu as 64 fois le 2, donc 2 puissance 64 (je ne sais pas si je suis claire !)

2S - S = (2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 + 2 puissance 4 + 2 puissance 5 + ....+2 puissance 63 + 2 puissance 64) - (1+ 2 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 +...+2 puissance 63) = 2 puissance 64 - 1 car tout se simplifie (de 2 à 2 puissance 63) et il ne reste que 2 puissance 64 et 1 (mais comme il y a un signe moins devant la parenthèse, ça fait -1)

As-tu compris ?

Désolée, je ne suis pas très douée pour expliquer, surtout par ordis interposés !

[Dominique]

Pour compléter le message de schwa :

[Lukas]

Merci Dominique et schwa

[colisseum]

Merci beaucoup.

Il y a bien une erreur dans mon livre.

Donc mis à part mon erreur 125 au lieu 126. C'est bon.

Pour la 2ème question, j'ai compris mon erreur. Je voulais absolument développer. Donc forcèment cela ne pouvait pas marcher.

Merci encore, je peux donc continuer dans mes révisions.

Colisseum

[Saria]

Tiens, question que je me pose (pour Dominique) : c'est juste pour ma culture personnelle parce que j'ai déjà le concours, mais est-on obligé de calculer chaque terme et de les additionner dans la première question ? Et dans la deuxième, est-on obligé de faire 2S - S ? Est-ce que c'est sanctionné au concours d'utiliser des techniques de calcul d'un niveau supérieur à celui demandé ? Parce que si j'avais eu un sujet de ce type, j'aurais vu de suite une série géométrique de raison 2 et j'aurais fait ça :

1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^6 = Somme (i = 0 -> 6) 2^i

..........................................= 2^0 * (1 - 2^7) / (1 - 2)

..........................................= 2^7 -1

1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^63 = Somme (i = 0 -> 63) 2^i

..........................................= 2^0 * (1 - 2^64) / (1 - 2)

..........................................= 2^64 - 1

(Désolée, je ne sais pas utiliser les fonctions d'écriture mathématiques du forum, donc pas de sigma majuscule, pas de fraction, et pas d'exposant ! )

[Dominique]

De façon générale, pour la partie "maths/maths" d'un sujet de concours (c'est-à dire la partie du sujet qui ne concerne pas l'enseignement des mathématiques à l'école élémentaire qui lui est abordé dans ce qu'on appelle les questions complémentaires), on peut bien évidemment utiliser toutes les connaissances mathématiques que l'on a.

Ceci dit, dans la cas particulier qui nous intéresse, il est écrit dans l'énoncé de la question 2 : "En calculant 2S-S".

Dans cas je pense qu'il faut faire ce qui est demandé.