les n premiers entiers

[leny]

Bonsoir!

Pour calculer la somme des n premiers entiers, je connais la formule suivante : (n*(n+1))/2.

Comment fait-on pour calculer la somme des n premiers nombres entiers impairs ?

Je ne comprends vraiment rien à cette formule! Quelqu'un saurait-il me l'expliquer?

merci d'avance.

[Dominique]

1°) Somme S des n premiers nombres entiers :

On calcule 2S de la manière suivante :

S = 1 + 2 + 3 +...+ (n-1) + n

S = n + (n -1) + (n-2) +...+ 2 + 1 (aligner les différents termes de cette somme avec les termes de la somme du dessus)

Donc :

2S = (n+1)+(n+1)+...+(n+1) (écriture avec n fois le terme n+1)

2S = n(n+1)

Donc :

S = [n×(n+1)]/2

2°) Somme S' des n premiers nombres entiers impairs :

On calcule 2S de la manière suivante :

S' = 1 + 3 + 5 +...+ (2n-3) + (2n-1)

S' = (2n-1) + (2n-3) + (2n-5) +...+ 3 + 1 (aligner les différents termes de cette somme avec les termes de la somme du dessus)

Donc :

2S' = 2n + 2n +...+ 2n (écriture avec n fois le terme 2n)

2S' = 2n²

Donc :

S' = n²

[leny]

Merci pour cette explication, mais j'avoue que je suis tout de même encore complétement larguée! Je ne suis vraiment pas douée en maths!

Pourquoi calculer S2 ca sert à quoi, pourquoi ne pas noter S tout court?

[Dominique]

Merci pour cette explication, mais j'avoue que je suis tout de même encore complétement larguée! Je ne suis vraiment pas douée en maths!

Pourquoi calculer S2 ca sert à quoi, pourquoi ne pas noter S tout court?

Remarque préalable : tu écris S2. As-tu compris qu'on calcule 2×S ?

On ne sait pas calculer 1 + 2 + 3 + ..... + (n-1) + n mais on utilise une astuce pour calculer 2S et en déduire ensuite S en divisant le résultat obtenu par 2 (ce genre d'astuce ne s'invente pas... sauf si on s'appelle Friederich Gauss, mathématicien allemand, qui, dit-on, inventa cette astuce quand il était encore élève à l'école primaire).

Je montre le fonctionnement de cette astuce sur un exemple. Ensuite, on fait la même chose avec n quelconque.

Exemple :

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7

et

S = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 +2 + 1

Donc :

2S = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 (car 1 + 7 = 8 et 2 + 6 = 8 et etc.)

2S = 7 ×8

S = (7 × 8)/2

Si on met n à la place de 7 on trouve la même formule avec n à la place de 7 et n+1 à la place de 8 :

S = [n x (n+1)]/2

[les3ptitsbouts]

Bah voilà que c'est plus clair pour moi d'un seul coup, merci.

Par contre dans quel genre d'exercice , cette formule est applicable?

désolée si ma question peut paraitre bête

[Trousse68]

Je te rejoins dans ta question, ainsi tu te sentiras moins seule!!!

Moi aussi je ne suis pas douée....d'ailleurs tu vois il n'y a que nous 2 pour poser ce genre de question!

J'ai toujours pas l'impression d'avoir très bien compris!!!!! Pourquoi n =7???? La valeur de n est-elle précisée???

Je pense qu'il n'y a effectivement que Friederich Gauss pour réfléchir à ce genre de chose !

[les3ptitsbouts]

bah je dirais que n=7 car il y a 7 termes....mais sans grande conviction.

donc en gros n serait le nombre de termes?

mystère mystère!!!!

[Dominique]

J'ai toujours pas l'impression d'avoir très bien compris!!!!! Pourquoi n =7???? La valeur de n est-elle précisée???

J'avais donné dans mon premier message une démonstration de la formule qui donne la somme des n premiers entiers.

leny a dit qu'elle ne comprenait pas cette démonstration.

J'ai donc essayé d'expliquer le principe de la démonstration en prenant un exemple (car ça me semblait plus facile de suivre une explication dans laquelle il n'y avait pas un nombre n quelconque). J'ai donc pris n= 7 mais j'aurais pu prendre n = 5 ou n = 17 ou ...

J'ai expliqué comment on pouvait trouver une formule donnant la somme des 7 premiers entiers pour qu'il soit plus facile de comprendre comment on trouve une formule du même genre mais plus générale donnant la somme des n premiers entiers avec n quelconque.

[Dominique]

donc en gros n serait le nombre de termes?

Oui, bien sûr.

Si on cherche la somme des 5 premiers entiers on cherche la valeur d'une somme de 5 termes : 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Si on cherche la somme des 8 premiers entiers on cherche la valeur d'une somme de 8 termes : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

Si on cherche la somme des n premiers entiers on cherche la valeur d'une somme de n termes : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + n

[Dominique]

Par contre dans quel genre d'exercice , cette formule est applicable?

Un exemple :

[les3ptitsbouts]

Merci , merci et encore merci .

Je crois qu'on ne le vous dira jamais assez.

[Trousse68]

OUi MERCI Dominique!