raisonnement

[doudou]

Bonjour

j'aimerai résoudre ce problème avec la formule S=1+2+...(n-2)+(n-1)

donc S=(n-1)+(n-2)+...2+1+2S=n(n-1)

s=n(n-1)/2

Voici l'énoncé

Un enseignant veut faire une suite régulière décroissante telle que le pas soit égal à 0,25 et que la somme des 16 premiers termes soit égale à 50. Quel sera le 1er teme de cette suite.

J'ai du mal à appliquer cette formule j'aimerai la matriser en faisant plusieurs exercices et en comprenant donc si vous avez d'autres exercices de ce type avec bien sûr les corrections pour que je puisse me corriger n'hésitez pas. Je vous remercie par avance.

Bon courage

[la1000n]

j'ai regardé ton exercice, j'ai essayé qqch, tu me diras ce que tu en penses!!

Mon raisonnement a l'air juste, j'espère que tu arriveras à comprendre...

S = n + (n+0,25) + (n+0,5) + ..... + (n+3,75) car le dernier terme est n auquel on a ajouté 15x0,25 = 3,75

4S = 4n + (4n+1) + (4n+2) + (4n+3) +..... + (4n+15)

4S = 16 x 4n + S' où S' = 1+2+3+4+....+14+15

S=(16 x 4n + S')/4

= 16n + S'/4

Or on sait que S'= (nombre de termes de la suite / nombre de termes de la suite -1)/ 2

ici, la suite contient 16 termes.

Donc S' = (16 x 15)/2

= 240/ 2

= 120

On revient à nos moutons => S = 16n + 30 (<= 120/4)

et comme S=50, on a 16n+30=50

16n=20

n = 1,25

Voilà!!

[eramü]

ça fait partie du thème des suites, non? je croyais qu'on ne les abordait pas pour le concours! On doit savoir répondre à ça alors?

[la1000n]

ça fait partie du thème des suites, non? je croyais qu'on ne les abordait pas pour le concours! On doit savoir répondre à ça alors?

Non, ça n'est pas au concours!

Du moins, on ne peut pas t'obliger à répondre à une question en les utilisant, mais si tu veux les utiliser pour résoudre un exercice (ce qui apparement ne sera pas ton cas!), tu peux!! Il y aura toujours une autre méthode quoiqu'il en soit...

[Dominique]

ça fait partie du thème des suites, non? je croyais qu'on ne les abordait pas pour le concours! On doit savoir répondre à ça alors?

Les suites ne sont pas à proprement parler au programme mais il est vrai que connaitre quelques formules concernant les suites arithmétiques et géométriques peut aider pour résoudre certains problèmes (même si la connaissance de ces formules n'est pas indispensable car on doit pouvoir résoudre ces problème sans utiliser ces formules).

Pour plus d'information sur ces formules, voir : http://dpernoux.free.fr/suites.pdf

[Dominique]

Pour en revenir au problème proposé par doudou.

1°) Solution sans utiliser de formule concernant les suites

On cherche x tel que x + (x - 0,25) + (x - 2×0,25) + (x - 3×0,25) + ... + (x - 14×0,25) + (x - 15×0,25) = 50

Soit : 16x - 0,25×(1 + 2 + .... + 15) = 50

Soit : 16x - 0,25 × 120 = 50 (remarque : on calcule 1 + 2 + ...+15 avec une calculatrice en tapant les quinze termes ou on sait que 1 + 2 + ...+15 =(15×16)/2)

Soit 16x = 80

Soit x = 5

Vérification : 5 + 4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25 + 3 + 2,75 + 2,5 + 2,25 + 2 + 1,75 + 1,5 + 1,25 = 50

2°) Solution en utilisant une formule concernant les suites (non exigible pour le CRPE)

La somme des 16 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme x et de raison - 0,25 est égale à

16 ×(1er terme + dernier terme)/2 soit à 16 × [x + (x -15×0,25)]/2.

On doit donc résoudre 16 × [x + (x -15×0,25)]/2 = 50 soit 2x - 3,75 = 100/16 soit 2x = 10 soit x = 5

[Dominique]

S = n + (n+0,25) + (n+0,5) + ..... + (n+3,75) car le dernier terme est n auquel on a ajouté 15x0,25 = 3,75

Tu as zappé le fait que dans l'énoncé il était écrit suite décroissante.

S' = 1+2+3+4+....+14+15

Or on sait que S'= (nombre de termes de la suite / nombre de termes de la suite -1)/ 2

ici, la suite contient 16 termes.

Donc S' = (16 x 15)/2

= 240/ 2

= 120

En fait la bonne formule pour la somme des n premiers entiers est [nombre de termes de la suite × (nombre de termes de la suite +1)]/2 et S' contient 15 termes donc S' = (15 ×16)/2

Deux erreurs se compensent dans ce que tu as écrit.

Remarque : tu as aussi tapé un / à la place d'un × dans la formule mais ensuite tu as bien mis un ×

[doudou]

Pour en revenir au problème proposé par doudou.

1°) Solution sans utiliser de formule concernant les suites

On cherche x tel que x + (x - 0,25) + (x - 2×0,25) + (x - 3×0,25) + ... + (x - 14×0,25) + (x - 15×0,25) = 50

Soit : 16x - 0,25×(1 + 2 + .... + 15) = 50

Soit : 16x - 0,25 × 120 = 50 (remarque : on calcule 1 + 2 + ...+15 avec une calculatrice en tapant les quinze termes ou on sait que 1 + 2 + ...+15 =(15×16)/2)

Soit 16x = 80

Soit x = 5

Vérification : 5 + 4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25 + 3 + 2,75 + 2,5 + 2,25 + 2 + 1,75 + 1,5 + 1,25 = 50

2°) Solution en utilisant une formule concernant les suites (non exigible pour le CRPE)

La somme des 16 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme x et de raison - 0,25 est égale à

16 ×(1er terme + dernier terme)/2 soit à 16 × [x + (x -15×0,25)]/2.

On doit donc résoudre 16 × [x + (x -15×0,25)]/2 = 50 soit 2x - 3,75 = 100/16 soit 2x = 10 soit x = 5

Merci beaucoup Dominique elle est super claire ta leçon sur les suites c'est ce que je cherchais j'avais du mal à comprendre pourquoi on rajoutais 1 à certaines suites et pas à d'autres c'est clairement expliqué dans la leçon.

Bonne soirée.