Ex 1 Groupement 3 année 2007

[Laurence30]

Bonjour,

Pourriez-vous m'apporter votre aide sur l'exercice suivant :

Toutes les réponses seront justifiées.

1) Donner les restes des divisions par 6 et par 3 de chacune des trois sommes suivantes :

5 + 7 + 9

15 + 17 + 19

1 527 + 1 529 + 1 531

2)

Plus généralement :

a. Donner le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.

b. Donner le reste de la division par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.

3) Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est 12 027.

4) On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours un multiple de 5. Déterminer la plus petite valeur possible de p.

Pour la question 1 et 3 c'est Ok (heureusement )

Par contre la 2 et 4 me pose soucis.

Notamment le corrigé donné est :

2)

a. Soient trois nombres entiers impairs consécutifs x, x + 2 et x + 4.

x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6 = 6(x/2 + 1/2) + 3 => pourquoi il est noté + 3 alors que 3x+6 = 6 ( x/2 + 1) est plus "simple".

Donc cette somme n'est pas un multiple de 6 et le reste de la division de cette somme par 6 est 3.

b. Soient trois nombres entiers impairs consécutifs x, x + 2 et x + 4.

x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6 = 3(x + 2).

Cette somme est un multiple de 3, donc le reste de la division de cette somme par 3 est nul.

4) Soient les nombres entiers impairs consécutifs x, x + 2, x + 4, …

Pour que leur somme soit un multiple de 5, il est nécessaire que le nombre de termes en « x » soit un multiple de 5, donc il faut au minimum compter 5x. => pourquoi faut il prendre 5 termes en x alors que pour le multiple de six on a pas forcément pris 6 termes ????

x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 5x + 10 = 5(x + 2) et 5(x + 2) est un multiple de 5.

Donc la somme de 5 nombres entiers impairs consécutifs est un multiple de 5.

Soit p = 5.

Merci de votre aide sur ces interrogations.

[Dominique]

Voir : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2007_3.pdf

[Laurence30]

Voir : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2007_3.pdf

Merci Dominique. Ton corrigé est plus explicite que celui de cap concours !