différence entre un théorème et la réciproque d'un théorème?

[Marelle13]

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait-il me dire la différence entre un théorème et la réciproque d'un théorème?

Je n'arrive pas à voir la nuance et lors de mes démonstrations c'est toujours le mauvais terme que j'emploie.

Merci à l'âme charitable qui me permettra d'y voir plus clair.

[schwa]

eh bien ça dépend de quoi tu pars.

Par exemple pour le théorème de pythagore, tu l'utilises quand tu sais qu'un triangle est rectangle et que tu cherches la mesure d'un côté.

Par exemple tu as ABC triangle rectangle en A, alors d'après le théorème de Pythagore, AB^2+AC^2=BC^2

Quand tu as les 3 mesures du triangle et qu'on te demande s'il est rectangle, alors tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore et si AB^2+AC^2=BC^2 alors ABC est rectangle en A

En fait, il faut que tu vois ce qu'on te demande.

Dans un théorème, tu as un Si... alors...

Tu utilises le théorème quand tu as dans l'énoncé le "si ..." qui est vérifié.

Si tu connais seulement ce que tu as après le "alors..." et que tu cherches à savoir si le "si..." est vrai, alors tu utilises la réciproque.

Tu vois quoi ?

Donc je reprend mon exemple de Pythagore qui dit que "Si un triangle ABC est rectangle en A alors AB^2+AC^2=BC^2"

Donc, si dans l'énoncé tu sais que ABC est rectangle alors tu utilises le théorème et tu peux trouver le côté qu'il faut chercher

Si dans ton énoncé on te donne tous les côtés et que tu dois vérifier si "le triangle ABC est rectangle en A" est vrai, alors tu utilises la réciproque.

Je ne sais pas si c'est très clair pour toi ! Car j'avoue que ce n'est qu'en terminale que j'ai compris la différence entre théorème et réciproque ! Avant, je donnais les 2 dans les contrôles

[Sheana]

Grosso modo, retiens que :

Théorème, que ce soit pythagore ou thalès, tu l'utilises pour calculer une mesure voire des mesures.

Pythagore : dans un triangle rectangle

Thalès : quand il est question d'exos avec droites parallèles.

Réciproque : Sert à démontrer qu'un triangle est rectangle , pour pythagore

que des droites sont parallèles, pour Thalès

Contraposée : Sert à démontrer qu'un triangle n'est PAS rectangle, pour pythagore

que des droites ne sont PAS parallèles, pour Thalès.

En espérant avoir contribué un éclaircissement

A bientôt.

[xtelle04]

D'accord avec Sheana.

Théorème : c'est une propriété bien déterminée, énoncée sous la forme Si Hypothèse alors conclusion.

Réciproque : tu pars de la conclusion d'un théorème pour obtenir les conditions de l'hypothèse. ca donne :

Si conclusion alors hypothèse.

Contraposée : de l'un ou de l'autre tu cherches à démontrer que tu n'as pas l'hypothèse ou la conclusion. ca donne :

Si j'avais l'hypothèse alors je devrais obtenir la conclusion mais comme je ne l'ai pas alors, l'hypothèse n'est pas bonne. Et inversement.

[Marelle13]

Merci à vous tous, j'ai saisie la nuance.

[Sheana]

Pas d'quoi ;-P

[Laurence.Piou]

En fait pour une contraposée :

On va dire qu'on a un théorème du type "Si j'ai l'hypothèse A, alors j'ai la conclusion B". La contraposée de ce théorème est "Si j'ai non-B, alors j'ai la conclusion non-A". Et ça, c'est toujours vrai.