énigme mathématiques : au secours !

[télémaque]

Bon, mon fils ( en 5ème) a une énigme à résoudre et on patoge. Si quelqu'un pouvait nous aider...

" Un nombre s'écrit avec 100 chiffres 9. On le multiplie par 198. On additionne tous les chiffres du nombre obtenu. Quelle est la somme trouvée ?"

Merci d'avance.

[Aspidistra]

C'est pas une question de multiple de 9?? (ps la somme réduite des chiffres est 9)

[Laurence.Piou]

Le nombre qui s'écrit avec 100 chiffres 9 est le nombre 9*(100 chiffres 1). (J'ai factorisé par 9).

Si je multiplie par198, ça donne 198*9*(100 chiffres 1).

198*9 = (200-2)*9 = 200*9-2*9 = 1800-18 = 1782

DOnc on a 1782 * (100 chiffres 1).

Je réfléchis pour la suite...

[Laurence.Piou]

C'est pas une question de multiple de 9?? (ps la somme réduite des chiffres est 9)

Ah oui, peut-être ! Je continue à réfléchir...

[Aspidistra]

Le premier nombre est multiple de 9, le second aussi donc leur produit aussi, donc la somme du produit, est multiple de neuf, donc la somme de ses chiffres réduite est 9 mais je ne sais pas la non réduite!!

[Laurence.Piou]

J'ai trouvé !

Je reprends depuis le départ :

Le nombre qui s'écrit avec 100 chiffres 9 est le nombre composé du chiffre 1 et de 100 chiffres 0 auquel on retranche 1 (je vais ensuite l'écrire 10...0-1) (Prendre un exemple avec des nombres plus petits : 999=1000-1).

198*(10...0-1) = 198*10...0-198*1=1980...0-198

(Je ne sais pas si je suis claire, mais si on multiplie 198 avec le nombre composé du chiffre 1 et de 100 chiffres 0 on obtient le nombre composé de 198 suivi de 100 chiffres 0. Ex avec un nombre plus petit : 198*1000=198000)

Et 1980...0-198 = 1979...9802, c'est-à-dire le nombre 197 suivi de 97 chiffres 9 et encore suivi de 802.

La somme de ces chiffres est donc de : 1+9+7+97*9+8+0+2=900.

Je ne sais pas si je suis claire

[Aspidistra]

Ouch ça me parait bien compliqué pour un 5eme ça!!! Mais c'est clair!!!

[Laurence.Piou]

Ouch ça me parait bien compliqué pour un 5eme ça!!!

Moi aussi Mais en général, ce genre d'énigmes est proposé en bonus dans des devoirs à la maison. Ainsi, même les élèves qui ne trouvent pas ne sont pas pénalisés. (J'espère que c'est ça, sinon effectivement ça me paraît bien difficile).

[télémaque]

Merci pour votre aide, et oui, c'est une question bonus pour un DM.

Nous étions en effet sur une piste semblable à celle que vous proposez, mais sans grande conviction... Je savais qu'il y avait un truc certainement assez simple, et pensais que la réponse devait être 9 ou un de ses multiples.

Enfin, maintenant, le fiston dort... on verra demain avec lui : il faut tout de même qu'il soit capable de justifier sa réponse ...

[cloclette]

Merci pour votre aide, et oui, c'est une question bonus pour un DM.

Nous étions en effet sur une piste semblable à celle que vous proposez, mais sans grande conviction... Je savais qu'il y avait un truc certainement assez simple, et pensais que la réponse devait être 9 ou un de ses multiples.

Enfin, maintenant, le fiston dort... on verra demain avec lui : il faut tout de même qu'il soit capable de justifier sa réponse ...

La réponse qui est finalement simple est neuf car la somme des chiffes de tout multiple de 9 est 9.

Et si on multiplie un multiple de 9 PAR un autre multiple de neuf( ou n'importe quel nombre d'ailleurs), le résultat est forcement un multiple de neuf.

[Escher]

Merci pour votre aide, et oui, c'est une question bonus pour un DM.

Nous étions en effet sur une piste semblable à celle que vous proposez, mais sans grande conviction... Je savais qu'il y avait un truc certainement assez simple, et pensais que la réponse devait être 9 ou un de ses multiples.

Enfin, maintenant, le fiston dort... on verra demain avec lui : il faut tout de même qu'il soit capable de justifier sa réponse ...

La réponse qui est finalement simple est neuf car la somme des chiffes de tout multiple de 9 est 9.

Et si on multiplie un multiple de 9 PAR un autre multiple de neuf( ou n'importe quel nombre d'ailleurs), le résultat est forcement un multiple de neuf.

Non la bonne réponse est 900

mon explication qui rejoint celle donnée précédemment:

(j'emploie le symbole ^ pour désigner la puissance : 100=10^2 etc...)

le premier nombre est 10^100-1

le produit est 198*10^100-198

qui peut s'écrire successivement :

197*10^100+10^100-200+2

197*10^100+10^100-10^3+10^3-200+2

197*10^100+(10^97-1)*1000+800+2

Le premier terme de la somme s'écrit 197000000..... 00000 (avec 100 zéros)

Le deuxième terme s'écrit 99999 ....9999000 (et contient 97 fois le chiffre 9)

D'où la somme des chiffres du produit est bien : 1+9+7+(9*97)+8+0+2=900

[Zarko]

On additionne tous les chiffres du nombre obtenu

Sauf que je crois que l'on additionne pas des chiffres mais des nombres en mathématiques...

Alors 9 ou 900 ?