Problème de divisions

[LuneBlonde]

Hello !

je sèche sur ce problème :

Soit r1 et r2 mes restes respectifs des divisions par 13 de deux nombres quelconques a et b. Montrer que les nombres ab et r1r2 ont le même reste dans la division euclidienne par 13.

Des indications ?

merci!

[lilaille]

c'est a en chiffre des dizaines et b en chiffre des unités ou le produit des deux nombres ?

[o0marion0o]

d'après moi a et b sont des nombres à 2 chiffres ou plus donc ab et R1R2 doivent être les produits de axb et R1xR2 mais j'attends ta confirmation LuneBlonde !

[LuneBlonde]

c'est ça marion!

[o0marion0o]

a = 13q₁+r₁

b = 13q₂+r₂

a.b = (13q₁+r₁)(13q₂+r₂)

a.b = 169q₁q₂ + 13q₁r₂ + 13q₂r₁ + r₁r₂

a.b = 13(13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂

que l'on peut écrit autrement : 13q₃ + r1r2 d'où r1r2 le reste de la division euclienne de a.b par 13 si et seulement si r1r2<13

donc si r₁r₂<13 on a bien un seul et même reste correspondant aux divisions euclidienne de a.b par 13 et de r₁r₂ par 13, ce reste étant égal à r₁r₂

ca se complique pour r₁r₂ > 13 ... j'y réfléchis

[LuneBlonde]

13(13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂

que l'on peut écrit autrement : 13q₃ + r1r2 d'où r1r2 le reste de la division euclienne de a.b par 13 si et seulement si r1r2<13

tu passes comment de la ligne 1 à la ligne 2 ?

[o0marion0o]

la "ligne 2" est une simple lecture de la "ligne1".

J'ai juste appelé "q₃" le facteur de 13 (entre parenthèse) pour retrouver une forme plus lisible de 13q+r

[Charivari]

a = 13q₁+r₁

b = 13q₂+r₂

a.b = (13q₁+r₁)(13q₂+r₂)

a.b = 169q₁q₂ + 13q₁r₂ + 13q₂r₁ + r₁r₂

a.b = 13(13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) + r₁r₂

Je continue là :

donc si on appelle R le reste de la division euclidienne de ab par 13, on aura

R = S + T

Où S est le reste de la d.e. de 13(13q₁q₂ + q₁r₂ + q₂r₁) par 13

et T est le reste de la d.e. de r₁r₂ par 13.

Or S = 0 (car S = 13 k, k entier)

d'où R = T, CQFD.

[o0marion0o]

j'ai rien compris

[Charivari]

Bon, imagine que ab vaille 145.

145 c'est 130 + 15.

Le reste de ab:13 c'est comme le reste de (130+15) : 13.

Mais 130:13, ça tombe juste. Pas de reste.

Donc le reste de ab:13, c'est le même que le reste de 15:13

[o0marion0o]

d'accord j'ai compris c'est limpide maintenant! merci Charivari

[Tounga]

d'accord j'ai compris c'est limpide maintenant! merci Charivari

Lune Blonde, tu as trouvé cet exercice dans des annales ?