je ne comprends pas la correction

[JOE]

voilà tiré de amiens 2003 :

je suis un nombre à trois chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. qui suis-je? trouver ce nombre unique en expliquant la démarche.

correction :

le nombre cherché est le carré d'un nombre premier (ça je comprends car tout carré de nombre premier a trois diviseurs).

Ce nombre premier est supérieur à 10 (bien sûr) et inférieur à V1000 (comprendre racine de 1000) , donc inférieur ou égal à 31.

On essaie successivement tous les nombres premiers compris entre 10 et 31 et on trouve que le nombre 29² = 841 convient car :

- 841 est un nombre a trois chiffres

- la somme des chiffrs est égale à 13

- 841 admet exactement 3 diviseurs : 1,29 et 841

mon problème : pourquoi V1000 et pas un autre chiffre?

merci de votre aide

[Sarah38]

le nombre à chercher, que l'on peut appeler n, est égal à un nombre premier, que l'on peut appeler p (par exemple), soit :

n = p²

ou encore p = racine (n)

p > 10 : ok (condition "n est un nombre à 3 chiffres" soit n supérieur ou égal à 100 et par conséquent, p supérieur ou égal à 10)

et n < 1000 car "n est un nombre à 3 chiffres"

ce qui peut encore s'écrire p < racine (1000) (tout simplement !)

bon courage pour la suite

(sinon, je ne commaissais pas cette loi sur les carrés de nombres premiers, et pourtant j'ai beaucoup mangé de maths, et j'en redemande volontiers )

[Sarah38]

pour Dominique 'pour prolonger la discussion)

je pense que pour montrer la relation "n admet 3 diviseurs => racine (n) est un nombre premier "

on peut d'abord montrer que tout nombre qui admet seulement 3 divieurs est le carré d'un nombre entier :

n admet 3 diviseurs : qui sont : 1, n et un autre nombre m

puisque m divise n, n peut s'écrire n = m * q, q étant un nombre entier, lui-même diviseur de n -par conséquent-

donc q vaut soit 1 (impossible sinon m = n), soit n (impossible sinon m = 1), soit m

finalement q = m , et donc n = m * m, soit m = racine (n)

=> n admet pour seuls diviseurs 1, n et racine(n)

donc n est la carrré du nombre entier m

il faudra ensuite montrer que m = racine(n) est un nombre premier

on peut alors passer par l'absurde

si un nombre n'est pas premier, son carré n'admet pas 3 (et seulement 3 ) diviseurs

soit r un nombre non premier r = a * b (a et b différents de 1 et de r)

r² = a * a * b * b

donc r² admet plus de 3 diviseurs, dont par exemple : 1, a, a² (différent de 1 et de a), a²*b (différent de 1, a, et a²)

ce qui permet effectivement de dire qu'un nombre qui admet 3 diviseurs est forcément le carré d'un nombre premier

[JOE]

merci beaucoup à tous et particulièrement à Dominique pour le lien, j'ai cherché partout le 1000, mais pas vu les trois chiffres !! _bl_sh_ c'était tellemnt évident pourtant...