division CM2

[Timis]

Je vais attaquer à la rentrée la division avec mes CM2.

Est-ce que vous abordez directement la technique comme rappel du CM1 ou est-ce que vous repartez sur toute une séquence avec découverte, construction du sens de la division etc... ?

[Timis]

Je vais attaquer à la rentrée la division avec mes CM2.

Est-ce que vous abordez directement la technique comme rappel du CM1 ou est-ce que vous repartez sur toute une séquence avec découverte, construction du sens de la division etc... ?

[LouisBarthas]

Mes cm2 qui n'ont pas un très bon niveau ont très bien réussi la division en posant la table des diviseurs sur leurs cahiers. Au début, avec la calculatrice puis sans. Certains se sont rendus compte qu'ils n'avaient pas toujours besoin de tout poser. Pour ce qui est de la soustraction, ils la posent tous, je trouve cela tellement plus simple surtout avec des élèves en difficultés. Même moi je n'utilise plus que cette méthode!

Veux-tu dire que toi-même fais une division en posant la soustraction sous le dividende ?

[Charivari]

C'est sûr que ça a moins de sens en 2011 que dans les années 60 d'attendre une grande virtuosité dans les divisions posées... (je crois qu'hors contexte scolaire, il ne m'est jamais arrivé de ma vie d'avoir à poser ce genre de division.)

...mais j'aime quand même bien la technique opératoire de la division parce que je trouve qu'elle fait travailler toutes les opérations d'un coup . Quand on devient "pro" des divisions, eh bien on s'entraine à réfléchir aux ordres de grandeur, à faire des multiplications, des soustractions, plein de calcul mental (surtout si on ne pose plus les soustractions intermédiaires...) Il me semble que c'est bien utile, même en 2011.

[ndelsol]

Je fais poser les soustractions intermédiaires (sauf pour ceux dont les parents ont soufflé une technique sans). Tout simplement parce que cela n'a aucun intérêt de se compliquer l'existence. L'argument de la vitesse de calcul ne tient plus face à la technologie qui nous entoure. Plus personne ne pose de division aujourd'hui et si cela doit arriver ponctuellement je pense que c'est en s'appuyant sur le sens que nos élèves retrouveront une technique.

Par contre, je ne fais pas construire le répertoire multiplicatif. Je les pousse à s'appuyer sur le calcul mental, l'ordre de grandeur... et à essayer.

Je m'efforce de privilégier le sens à chaque étape.

[Charivari]

Petite parenthèse pas tout à fait hors sujet, j'ai créé récemment des générateurs de petits "défi de calcul mental" pour tester les tables. On peut paramétrer les tables que l'on veut tester (cliquer sur l'image) et chaque pression sur F9 génère un défi différent du précédent.

[LouisBarthas]

Je fais poser les soustractions intermédiaires (sauf pour ceux dont les parents ont soufflé une technique sans). Tout simplement parce que cela n'a aucun intérêt de se compliquer l'existence. L'argument de la vitesse de calcul ne tient plus face à la technologie qui nous entoure. Plus personne ne pose de division aujourd'hui et si cela doit arriver ponctuellement je pense que c'est en s'appuyant sur le sens que nos élèves retrouveront une technique.

Par contre, je ne fais pas construire le répertoire multiplicatif. Je les pousse à s'appuyer sur le calcul mental, l'ordre de grandeur... et à essayer.

Je m'efforce de privilégier le sens à chaque étape.

Au contraire, je pense qu'écrire les soustractions intermédiaires complique la procédure puisque cela prend plus de temps en utilisant davantage d'espace.

Quel plaisir un enfant peut-il y trouver ? Bien sûr, cela nécessite de calculer mentalement. Il n'y a pas plus de sens à poser les soustractions successives à la main que de les faire mentalement. Même moi qui n'étais pas bon en "calcul" comme on disait à l'époque dans les années 60, y arrivais.

Quand je demande à mes CE1 de diviser par exemple 25 par 6, ils répondent 4 et il reste 1. Et lorsque cette même division est posée, c'est la même chose : ils écrivent spontanément 1 sous le dividende, sans poser la soustraction.

J'ai vu la satisfaction de nombreux élèves à savoir faire très rapidement et en utilisant un minimum de place sur la feuille n'importe quelle division à un chiffre au diviseur. Certains faisaient même des compétitions !

Ce n'est pas à l'aune de la vitesse de calcul qu'il faudrait cesser de faire des divisions à la main. Faire les divisions à la main selon un algorithme qui s'est construit sur plusieurs siècles et que l'usage social a éprouvé, permet à l'élève d'accéder à une profonde réflexion mathématique.

Il est impossible à un enfant de retrouver un algorithme que la société a mis des siècles à élaborer. Toutes les procédures constructivistes -soi-disant "personnelles"- consistant à effectuer des soustractions successives du diviseur, à calculer à part tous les multiples du diviseur ou bien à tâtonner par ordre de grandeur sont longues, fastidieuses et surtout ne sont pas extensibles au cas général. L'apprentissage de l'algorithme de la division tel qu'il se pratiquait jusqu'à la fin des années 60 et que l'on m'a enseigné permettait de savoir faire n'importe quelle division, y compris à virgules, rapidement et sans grand risque d'erreur. C'est une grande satisfaction pour un enfant, qui le rassure en lui donnant un sentiment de maîtrise intellectuelle.

Bien sûr, la difficulté de cet algorithme pour de jeunes enfants nécessite de commencer son apprentissage dès le CE1 - et jusqu'aux années 60, ça pouvait débuter au CP avec la division de petits nombres par 2 et 5.

Donc, j'opte pour un apprentissage de l'algorithme de la division plutôt que de faire des "bricolages" constructivistes dont je suis persuadé qu'ils ne construisent rien mais génèrent au contraire de la confusion, de la lassitude, de l'ignorance et du manque de confiance en soi.

Aux évaluations 6e de septembre 2005 :

81 divisé par 6 : 38 % d'échecs

408 divisé par 12 : 46 % d'échecs

(on trouve ces chiffres chez : Michel Delord)

Aux évaluations 5e de 2002 :

3978 divisé par 13 : 59 % d'échecs

178,8 divisé par 8 : 74 % d'échecs

Exercice 23 : Pierre a choisi un nombre. Il divise ce nombre par 5. Il trouve comme quotient 8 et comme reste 3. Quel est ce nombre ? 58 % de réussite.

(on trouve ces chiffres chez Fanny Capel, page 41 : "Qui a eu cette idée folle un jour de casser l'école ?", Ramsay, 2004)

Donc, quatre élèves sur dix de 5e ne savaient pas automatiquement que 43 est égal à 5 fois 8 plus 3, six élèves sur 10 ne savaient pas faire la division de 3978 par 13 et les trois quarts des élèves français ne savaient pas diviser un nombre décimal par un nombre à un chiffre.

Mais même si l'on admet que l'apprentissage de l'algorithme est préférable au "tâtonnement", l'autre question concernant la division est celle de savoir si on a encore besoin d'effectuer des divisions à la main quand existent des calculettes. Il faudra l'argumenter mais ma réponse est qu'en faisant la division à la main selon l'algorithme on comprend et on accède à des concepts mathématiques que l'usage de la calculette masquerait.

[LouisBarthas]

Bonjour !

Je découvre ,le cycle 3 cette année donc je ne suis pas du tout au point sur les techniques ! ! Pour la division, pas de problème pour une division simple mais par contre, pour une division du type 2916/27, j'ai du mal à savoir quelle technique je dois leur enseigner. Pour l'instant, ils me font "dans 29 combien de fois 27, 1 fois donc ils posent la soustraction entermédaire, reste 2. Ils abaissent le 1 donc dans 21 combien de fois 27, 0 donc ils écrivent la soustraction reste 21, ils abaissent le 6 et la... blocage (216/27). Ils font par tatonnement : ils esseaient 10 fois puis comme c'est trop grand prennent 9 fois etc.

Au final, ils arrivent à faire la division mais faut-il que je leurs apprennent une autre technique en CM2 ou dois-je les laisser trouver par tatonnement ? J'avoue que je ne sais pas trop comment leur expliquer !

J'espère que vous avez compris mon explication ! Cette division se trouve dans le livre de l'élève d'euromaths mais rien n'est expliqué dans le livre du maître ! !

Merci !

Revenons à la question initiale de mamanstef :

Arrivé à 216/27, que faire ?

Beaucoup ont proposé de construire la table de 27. C'est évidemment long alors certains autorisent l'utilisation de la calculette.

J'ai moi-même présenté la procédure que j'ai apprise enfant, et que je retrouve parfaitement expliquée dans le manuel "Arithmétique-Cours élémentaire" de B. Courtet et C. Gril ( Editions de l'Ecole, 1954) :

Soixante-deuxième leçon

La division

Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres

Exercice

Effectuer la division : 3847 : 72

...

Dans la pratique, pour diviser, 3847 par 72, on dit : Je sépare un chiffre à la gauche du diviseur et deux chiffres à la gauche du dividende.

En 38, combien de fois 7 ? ... 5 fois ; J'écris 5 au quotient.

5 fois 2 ... 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4. J'écris 4 et je retiens 1.

5 fois 7 ... 35 ; 35 et 1 ... 36 ; 36 ôté de 38, il reste 2. J'écris 2.

etc.

Ce procédé d'une très grande simplicité, prenant quelques secondes, était enseigné il y a plus d'un demi-siècle en Cours élémentaire. Et aujourd'hui, on propose à des CM2 de construire la table de 27 en s'aidant d'une calculette ou bien de "tâtonner" en "essayant" par le calcul mental.

En quoi l'élève construit-il ainsi du "sens" en posant à part une table de 27 qui lui prendra beaucoup de temps, demandera beaucoup de patience et nécessitera un espace d'écriture supplémentaire ? Quelle idée se forgera-t-il des mathématiques avec un tel bricolage ? Où est son autonomie de pensée s'il a besoin d'une calculette comme prothèse ? Comment pourra -t-il acquérir des certitudes mathématiques rassurantes en pratiquant ce "tâtonnement" ?

Admirons la beauté et la simplicité de l'algorithme du manuel de 1954 : 384 divisé par 72, c'est approximativement 380 divisé par 70 ou 38 divisé par 7. Laquelle des deux méthodes construit le plus de sens ?

Ainsi, à une question posée en 2010 pour des élèves de CM2, un manuel de Cours élémentaire de 1954 répond de manière simple, évidente et mathématique, sans bricolage constructiviste.

En début de manuel, le programme mathématique du Cours élémentaire tient en peu de lignes ; pour la division, il est dit : Usage et pratique de la division par un nombre de deux chiffres au plus. C'est tout.

Dans l'avant-propos, les auteurs écrivent :

Il faut faire comprendre afin de faire mieux apprendre. Les explications très simples données dans chacune de nos leçons et les exercices d'intelligence permettent aux enfants de comprendre l'architecture des nombres, le sens et le mécanisme des opérations. Toutes les pages de ce manuel ont été expérimentées dans les classes. Nous avons éliminé tout ce qui semblait trop difficile pour des élèves moyens.

1954...

[azerty]

Je suis bien contente d'être passée par là. Je vais entamer la division avec mes CM1 d'ici quelques semaines et je n'avais pas pensé à cette difficulté. Pour l'avoir vu pratiquer ailleurs je pensais leur faire écrire la table à côté ou sur l'ardoise comme proposé par certains ici. Mais à vrai dire j'ai moi aussi appris à la façon de LouisBarthas (c'était encore comme ça dans les années 70 ) Mes premières divisions dataient effectivement du CE1; p

[azerty]

oups je poursuis :

pas le souvenir que l'on s'enquiquinait avec le sens; c'était de la technique pure et dure.

J'ai des CM1 d'un bon niveau; je verrai déjà ce qu'ils savent faire (et comment) puis j'ajusterai en fonction mais mon idée c'est de leur faire faire comme ce que j'ai appris: simple, rapide et ça se griffonne sur un p'tit bout de papier. Car moi en 2011 je fais encore des divisions sur un coin de feuille relativement souvent (pas tous les jours non plus) et je trouve ça plus rapide que de chercher une calculatrice ou trouver l'application sur mon téléphone portable

[Lena]

J'avais appris "tard": en CE2 (changement d'école; les copines, elles savaient diviser, et moi j'ignorais la table de x6 ).

J'enseigne la technique "1954" sans le savoir à mes CM2 .

Par contre, avant d'attaquer la division posée, on travaille en calcul mental:

tables à l'envers, partages de bonbons (je suis gourmande ) avec écriture euclidienne dans et hors table, nombre approché à la dizaine (et centaine).

Du coup, la division "revient" vite, et le passage à 2 chiffres se fait sans douleur: 248 divisé par 32 c'est "presque" 25 divisé par 3, et ça je sais!

Je valorise beaucoup leur ... fainéantise : pourquoi calculer toute la table de 32 puisqu'en ciblant, on est "bon à 1 près" ?

Dans les débuts on partage beaucoup par des nombres se terminant en 8 ou 9, pour avoir un arrondi "par au dessus" et pas trop souvent de réajustements ("mince j'ai tapé trop haut").

L'obstacle, c'est la technique venant d'un des 2 CM1 (par partages successifs); lorsque les élèves n'ont pas fait le passage d'eux-même à la technique directe en fin de CM1, il y a une période de pédalage dans la choucroute surcharge cognitive. Maintenant que je "connais le truc", je passe moins de temps à les "aligner" sur le reste de la classe.

Soustractions intermédiaires écrites ou pas, peu me chaut après la (re)mise en route ... tant que le calcul est juste!

[azerty]

Question à ceux qui ont des CM1 (léna?) dans mon manuel , ils s'arrêtent à la division à 1 chiffre, je pensais que dès les CM1 on abordait comment diviser par un nombre à 2 chiffres.

En stage il y a quelques années, je crois l'avoir fait et j'avais même un élève qui divisait des nombres décimaux.

Dans le programme (le socle) ils ne précisent pas, c'est juste écrit "division de 2 entiers"

Bon, en même temps s'il faut s'arrêter là, ça m'arrange comme ça il ne me reste plus que les décimaux pour la dernière période