division CM2

[helenel]

Romy, qu'est-ce que vous voulez dire par : "Surtout les dys" ?

Adélaïde.

mes cm2 font comme la plupart : ils posent avec ou sans calculatrice, une partie de la table du diviseur. Certains ont droit à la calculatrice quand le diviseur n'est pas évident.

pour ce qui est de diviseurs genre 12, 24, 30.... tout ce qui relève indirectement des tables, je leur demande de calculer de tête.

ensuite, la plupart savent maintenant se passer des soustractions intermédiaires. Chez mes cm1, j'en ai aussi qui ne les mettent plus car cela les embrouille (surtout les dys en fait).

Romy parle des élèves dyslexiques, je suppose. Mon élève dyslexique de CM2 ne pose pas les soustractions intermédiaires, il fait tout "de tête", c'est plus simple pour lui.

[fifinem]

Petit sondage hier,(élèves de seconde et quatrième) on n'apprend plus la surface du cercle, le volume d'une sphère, la surface d'une sphère.

Juste pour corriger ce point : la surface du disque est apprise en 6ème et la surface d'une sphère et le volume d'une boule sont au programme de 3ème.

Par contre les élèves n'arrivent pas à bien retenir ces formules faute de suffisamment d'exercices. Après avoir introduit cette année du calcul mental en début de chaque heure de cours dans toutes mes classes (6ème et 4èmes), je pense pour l'année prochaine alterner avec des exercices de calcul de périmètres et d'aires pour que ces satanées formules arrivent à rentrer et à rester !

En ce qui concerne la division, mes élèves ont tous appris à poser les soustractions. Je leur ai montré la technique sans et ils ont bien compris, et si j'avais eu le temps de leur en faire faire pendant 2 heures de cours je suis certaine que pour quasiment la totalité d'entre eux ce serait maîtrisé. Malheureusement, je ne dispose pas de ces 2 heures pour ne faire que des divisions ...

[AvrilBaby]

Bonjour !

Je découvre ,le cycle 3 cette année donc je ne suis pas du tout au point sur les techniques ! ! Pour la division, pas de problème pour une division simple mais par contre, pour une division du type 2916/27, j'ai du mal à savoir quelle technique je dois leur enseigner. Pour l'instant, ils me font "dans 29 combien de fois 27, 1 fois donc ils posent la soustraction entermédaire, reste 2. Ils abaissent le 1 donc dans 21 combien de fois 27, 0 donc ils écrivent la soustraction reste 21, ils abaissent le 6 et la... blocage (216/27). Ils font par tatonnement : ils esseaient 10 fois puis comme c'est trop grand prennent 9 fois etc.

Au final, ils arrivent à faire la division mais faut-il que je leurs apprennent une autre technique en CM2 ou dois-je les laisser trouver par tatonnement ? J'avoue que je ne sais pas trop comment leur expliquer !

J'espère que vous avez compris mon explication ! Cette division se trouve dans le livre de l'élève d'euromaths mais rien n'est expliqué dans le livre du maître ! !

Merci !

Revenons à la question initiale de mamanstef :

Arrivé à 216/27, que faire ?

Beaucoup ont proposé de construire la table de 27. C'est évidemment long alors certains autorisent l'utilisation de la calculette.

J'ai moi-même présenté la procédure que j'ai apprise enfant, et que je retrouve parfaitement expliquée dans le manuel "Arithmétique-Cours élémentaire" de B. Courtet et C. Gril ( Editions de l'Ecole, 1954) :

Soixante-deuxième leçon

La division

Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres

Exercice

Effectuer la division : 3847 : 72

...

Dans la pratique, pour diviser, 3847 par 72, on dit : Je sépare un chiffre à la gauche du diviseur et deux chiffres à la gauche du dividende.

En 38, combien de fois 7 ? ... 5 fois ; J'écris 5 au quotient.

5 fois 2 ... 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4. J'écris 4 et je retiens 1.

5 fois 7 ... 35 ; 35 et 1 ... 36 ; 36 ôté de 38, il reste 2. J'écris 2.

etc.

Ce procédé d'une très grande simplicité, prenant quelques secondes, était enseigné il y a plus d'un demi-siècle en Cours élémentaire. Et aujourd'hui, on propose à des CM2 de construire la table de 27 en s'aidant d'une calculette ou bien de "tâtonner" en "essayant" par le calcul mental.

En quoi l'élève construit-il ainsi du "sens" en posant à part une table de 27 qui lui prendra beaucoup de temps, demandera beaucoup de patience et nécessitera un espace d'écriture supplémentaire ? Quelle idée se forgera-t-il des mathématiques avec un tel bricolage ? Où est son autonomie de pensée s'il a besoin d'une calculette comme prothèse ? Comment pourra -t-il acquérir des certitudes mathématiques rassurantes en pratiquant ce "tâtonnement" ?

Admirons la beauté et la simplicité de l'algorithme du manuel de 1954 : 384 divisé par 72, c'est approximativement 380 divisé par 70 ou 38 divisé par 7. Laquelle des deux méthodes construit le plus de sens ?

Ainsi, à une question posée en 2010 pour des élèves de CM2, un manuel de Cours élémentaire de 1954 répond de manière simple, évidente et mathématique, sans bricolage constructiviste.

En début de manuel, le programme mathématique du Cours élémentaire tient en peu de lignes ; pour la division, il est dit : Usage et pratique de la division par un nombre de deux chiffres au plus. C'est tout.

Dans l'avant-propos, les auteurs écrivent :

Il faut faire comprendre afin de faire mieux apprendre. Les explications très simples données dans chacune de nos leçons et les exercices d'intelligence permettent aux enfants de comprendre l'architecture des nombres, le sens et le mécanisme des opérations. Toutes les pages de ce manuel ont été expérimentées dans les classes. Nous avons éliminé tout ce qui semblait trop difficile pour des élèves moyens.

1954...

Louis Barthas, je ne peux que confirmer le plaisir que peuvent trouver les enfants à résoudre des divisions à 1 ou 2 chiffres au diviseur, de façon fluide, sans poser de soustractions intermédiaires.

Personnellement, j'avais appris avec la méthode à soustractions intermédiaires (horreur), et j'ai maintenant le plaisir de voir mes propres enfants les faire à "l'ancienne", c.a.d simplement et très rapidement. Même le petit de huit ans calcule plus vite que son ombre avec un ou deux chiffres et ne se trompe pour ainsi dire jamais.

C'est grâce à eux que j'ai compris que faire autrement représentait une régression terrible: le fait de faire calculer le "répertoire multiplicatif" est notamment une dérive mécaniste grotesque dans la mesure où cette méthode part du principe que l'enfant est incapable de penser par lui-même et doit se comporter comme une machine bien moins perfectionnée que le cerveau humain.

Savez-vous si le livre que vous mentionnez est lisible quelque part sur Internet ?

Je voudrais signaler que le site de Marc le Bris explique aussi très bien la méthode de la division sans soustractions:

http://marc.le.bris.free.fr/pages/pscolaire.html

[vieuxmatheux]

Si c'est si important de poser les divisions sans soustraction, je voudrais qu'on m'explique pourquoi on ne cherche pas à faire poser les multiplications sans additions intermédiaires.

C'est pourtant très simple comme va le montrer l'exemple ci-dessous pour 234 x 67 = 15678

Commençons par les unités, on les obtient en multipliant des unités par des unités.

4 multipliés par 7 font 28, je pose 8 et je retiens 2 (il s'agit donc deux dizaines).

Intéressons nous maintenant aux dizaines, on les obtient en multipliant des unités par des dizaines ou des dizaines par des unités.

3 multipliés par 7 font 21, 4 multipliés par 6 font 24, 21 plus 24 font 45, sans oublier les 2 de retenue, il y a donc 47 dizaines, je pose 7 (devant le 8 des unités) et je retiens 4.

Intéressons nous maintenant aux centaines, on les obtient en multipliant des unités par des centaines, des centaines par des unités ou des dizaines par des dizaines.

2 multipliés par 7 font 14, 3 multipliés par 6 font 18, 14 plus 18 font 32, sans oublier les 4 de retenue, il y a donc 36 dizaines, je pose 6 (devant le 48 déjà écrit) et je retiens 3.

Intéressons nous maintenant aux milliers. Dans cette multiplication on ne peut en obtenir qu'en multipliant des centaines par des dizaines.

2 multipliés par 6 font 12, en y ajoutant les 3 milliers en retenue j'obtiens 15 milliers, le produit cherché est donc 15678.

On pourrait développer exactement les mêmes arguments que pour la division sans soustraction, et en particulier prétendre que parce que l'écriture est plus concise, la réalisation est plus rapide, ce qui n'est vrai que pour les personnes très entrainées, les autres étant contraintes à de nombreux retours en arrière qui font qu'en réalité c'est beaucoup plus long.

Or cette méthode n'est jamais défendue tout simplement parce que (pour des raisons que j'ignore) si la technique de division la plus condensée a longtemps été la seule enseignée, la technique de multiplication condensée ne l'a jamais été, ou très rarement.

L'argument essentiel qui demeure en faveur de la division condensée est donc celui-ci : jadis, on faisait comme ça, et tout le monde sait bien qu'à cette époque, tout le monde réussissait, il faut donc revenir à la tradition et tout le monde réussira.

Il suffit d'y croire.

[AvrilBaby]

Je pense que pour comprendre l'avantage de poser les divisions sans les soustractions, il faut les voir faites par les enfants ou le vivre soi-même.

C'est ce qui m'est arrivé puisque j'ai moi-même appris à faire la division par soustractions successives (et j'ai continué à les faire ainsi laborieusement jusqu'à ce que sois autorisée à utiliser une calculatrice).

Mais voir d'autres enfants, mes propres enfants (notamment le tout petit) les faire directement sans soustractions a été une révélation: mon fils de huit ans calcule 5 fois plus vite que je ne savais le faire avec un à deux ans de plus que lui, et cela l'amuse de surcroît !

Par contre, cela suppose de connaître parfaitement ses tables.

Ensuite, le fait de procéder ainsi fait entrer l'élève dans un cercle vertueux car plus il calcule ainsi, plus il devient performant en calcul mental...

Concernant la multiplication, il serait plus long et complexe de la poser sans faire l'addition finale (une seule opération qui va très vite, alors que pour la division il faut faire une cascade de soustractions).

L'avantage de la division sans soustractions posées est justement sa rapidité.

[vieuxmatheux]

J'ai enseigné 15 ans en collège, ayant au total entre 20 et 30 classe de Sixième à une époque où cette question était vivement débattue.

Avec chacune d'entre elles ou presque, j'ai organisé une séance où on chronométrait les divisions (méthode libre, avec ou sans soustraction). Je n'ai jamais rencontré une classe où les élèves ne posant pas les soustractions soient (en moyenne) plus rapides.

En revanche, le fait d'autoriser à poser les soustractions (sans le rendre obligatoire) suffisait à faire baisser de 30% à 50% le nombre d'erreurs.

Il est vrai que la méthodologie de ces comparaisons ne serait probablement pas assez rigoureuse pour en tirer des conclusions ayant une valeur scientifique et que l'échantillon n'est que d'environ 600 élèves.

Un des éléments qui fait que beaucoup d'enfants ne savaient plus guère faire les divisions il y a quelques années est qu'elles arrivaient trop tard (en CM1, et parfois vers la fin) ce qui fait que l'entrainement n'était pas suffisant.

Il est vrai également que plus on calcule mentalement, plus on devient performant (c'est vrai aussi pour le vélo ou l'accordéon) mais ça n'autorise pas à exiger d'emblée une méthode qui ne sera pas accessible à tous.

Il est tout à fait possible que ton fils soit extrêmement performant en calcul mental, bravo à lui.

Il se trouve que c'était également le cas de mes filles quand elles étaient à l'école, mais je me garde bien d'en tirer des conclusions générales.

[SophieHell]

J'ai lu avec un certain effarement, croissant, tous les échanges, jusqu'à lire enfin les réponses intelligentes de vieuxmatheux. Ouf. Merci.

D'ailleurs, quand j'ai lu que le monsieur qui défend ardemment la "vieille bonne méthode" était nul en maths quand il était enfant, j'ai un peu mieux compris pourquoi il défendait cette méthode.

[Ekole]

Bonsoir,

Je cite Lous Barthas"Dans la pratique, pour diviser, 3847 par 72, on dit : Je sépare un chiffre à la gauche du diviseur et deux chiffres à la gauche du dividende.

En 38, combien de fois 7 ? ... 5 fois ; J'écris 5 au quotient.
5 fois 2 ... 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4. J'écris 4 et je retiens 1.
5 fois 7 ... 35 ; 35 et 1 ... 36 ; 36 ôté de 38, il reste 2. J'écris 2.
etc."

J'ai appris comme ça, en CM2, mais je ne l'enseigne pas ainsi à mes élèves.

Y a-t-il une explication mathématique à cette méthode? Ou est-ce juste une technique qui "marche"?

[AvrilBaby]

Ekole, cela revient simplement à faire la soustraction mentalement. On fait le produit et la soustraction simultanément. C'est une technique de calcul mental.

Je n'ai pas appris ainsi, mais mon fils de huit ans y arrive sans problème !

[LouisBarthas]

Regardez bien cette page extraite de ce fameux manuel de Courtet et Grill (Cours moyen, Editions de l'école, 1954).

http://i73.servimg.com/u/f73/18/03/01/09/213.jpg

Calculer une division aussi simple que 195 / 8 jusqu'aux millièmes m'a pris 30 secondes. J'en ai mis 50 en occupant deux fois plus de place en posant les soustractions successives.

Je pense qu'il n'est pas déraisonnable de juger aberrant de demander à un élève de cours moyen de poser la série de soustractions 19 - 16 ; 35 - 32 ; 30 - 24 ; 60 - 36 ; 40 - 40.

J'ai peine à imaginer qu'un seul instituteur durant le siècle glorieux de l'école républicaine, jusqu'aux années 70, eût pu recommander une telle manière de faire. Non qu'ils ne la montraient pas car elle est nécessaire à la bonne compréhension de la division. En effet, lisez attentivement la page suivante extraite cette fois du manuel de cours élémentaire des mêmes auteurs (Courtet et Grill, Arithmétique cours élémentaire, Éditions de l'école, 1954) :

http://i73.servimg.com/u/f73/18/03/01/09/311.jpg

Il est écrit : "Dans la pratique, on n'écrit pas sous le dividende le produit du diviseur par le quotient."

Nos illustres prédécesseurs étaient de bons pédagogues.

Comme le dit AvrilBaby, "cette méthode (des soustractions posées sous le dividende) part du principe que l'enfant est incapable de penser par lui-même et doit se comporter comme une machine bien moins perfectionnée que le cerveau humain."

Lorsque au CP ou au CE1, on demande de diviser 5 par 2, si l'enfant a compris ce qu'est un reste et où il doit s'écrire, spontanément il écrira 1 directement parce qu'il aura effectué la soustraction 5 - 4 dans sa tête.

[AvrilBaby]

Louis Barthas, merci beaucoup pour ces précieux extraits !

Vous connaissez sûrement ce site qui regroupe des manuels anciens scannés :

http://manuelsanciens.blogspot.fr/p/mathematiques.html

Malheureusement, les manuels le Courtet et Grill n’y figurent pas.

Si vous possédez une version numérisée de ces ouvrages, vous pourriez les mettre en ligne à cet endroit (vous prier de les scanner exprès est peut-être trop demander !)

Entre temps, j’ai également trouvé des sites « modernes » qui expliquent la technique, ci-dessous :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Poser_une_division

Variante courte:

On peut aussi effectuer les soustractions au fur et à mesure des calculs sans les poser explicitement. La méthode consiste à effectuer à la fois les multiplications des chiffres du diviseur par le chiffre du quotient et les soustractions correspondantes.

« À cet effet on soustrait successivement les produits partiels résultants de la multiplication de chaque chiffre du diviseur par le chiffre du quotient sur lequel on opère, du nombre d'unités de même ordre que contient le dividende partiel, et l'on augmente le produit suivant d'autant d'unité qu'il a fallu ajouter de dizaines sur le chiffre du dividende pour rendre cette opération possible. »

(voir la suite sur le site dans la rubrique "variante courte")

http://www.mathematiquesfaciles.com/divison-des-nombres-entiers-5-diviseur-a-2-3-chiffres_2_34386.htm

(voir la rubrique "autre méthode")

[vieuxmatheux]

Dans l'exemple suivant de Louis Barthas :

Dans la pratique, pour diviser, 3847 par 72, on dit : Je sépare un chiffre à la gauche du diviseur et deux chiffres à la gauche du dividende.

En 38, combien de fois 7 ? ... 5 fois ; J'écris 5 au quotient.
5 fois 2 ... 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4. J'écris 4 et je retiens 1.
5 fois 7 ... 35 ; 35 et 1 ... 36 ; 36 ôté de 38, il reste 2. J'écris 2.
etc."

On se garde bien de proposer 3847 divisé par 79 dans lequel, une fois qu'on a séparé un chiffre au diviseur et deux au dividende, on pose 5 au quotient… qui n'est pas le premier chiffre du quotient.

C'est précisément un des cas dans lesquels les enfants qui apprennent ce type de mécanique sont pour la plupart désorientés : en appliquant strictement la méthode qu'on a apprise, ça ne marche pas. Qu'est-ce qui nous alerte ? Comment décide-t'on qu'il ne faut pas appliquer la méthode apprise ? Quand on sera revenu en arrière (si on y pense) aura-t'on encore gagné du temps ?

On peut évidemment décider de ne pas proposer ce cas…

Par ailleurs prétendre que toutes les étapes indiquées dans lesquelles on ne voit pas clairement que l'on soustrait en fait 5 fois 72 de 384 sont nécessairement plus rapides que

1) calculer mentalement 72 x 5 = 360

2) soustraire 360 de 384 (en le posant au début, mentalement si on en est capable)