division CM2

[AvrilBaby]

On se garde bien de proposer 3847 divisé par 79 dans lequel, une fois qu'on a séparé un chiffre au diviseur et deux au dividende, on pose 5 au quotient… qui n'est pas le premier chiffre du quotient.

C'est précisément un des cas dans lesquels les enfants qui apprennent ce type de mécanique sont pour la plupart désorientés : en appliquant strictement la méthode qu'on a apprise, ça ne marche pas. Qu'est-ce qui nous alerte ? Comment décide-t'on qu'il ne faut pas appliquer la méthode apprise ? Quand on sera revenu en arrière (si on y pense) aura-t'on encore gagné du temps ?

On peut évidemment décider de ne pas proposer ce cas…

Mais pas du tout ! Dans le cas que vous citez, il faut évidemment arrondir à la dizaine supérieure. Donc on fait dans 38 combien de fois 8 !

[vieuxmatheux]

Ne jouons pas sur les mots

On peut toujours prétendre que c'est évident, et que grâce à l'excellence de la méthode les enfants y penseront tous, mais je ne vois pas bien comment on décide que pour effectuer 2380 : 58 il ne faut évidemment pas arrondir à la dizaine supérieur et qu'il convient donc de "faire dans 23 combien de fois 5" alors que dans 2560 : 58 il faut tout aussi évidemment arrondir à la dizaine supérieur et "faire dans 25 combien de fois 6".

En ce qui me concerne, cela n'a rien d'évident, et je suis obligé de me livrer à quelque étapes de calcul mental pour commencer ma division. je reconnais cependant que j'ai toujours été à l'aise, voire très à l'aise avec le calcul mental ce qui est sans doute un handicap pour discuter des mérites comparés des différentes techniques opératoires.

N'avoir rien compris à une des techniques est probablement un garant de compétence et d'objectivité dans la comparaison !

Pour conclure, je dois dire que le petit duo entre AvrilBaby et les représentants du GRIP m'amuse beaucoup.

Il ne s'agit probablement pas d'une technique de propagande délibérée mais ça en a l'apparence : un comparse supposé neutre et innocent vient confirmer d'un point de vue "indépendant" les affirmations des représentants patentés du mouvement… et on crée ainsi toutes les apparences d'un dialogue entre deux personnes, ou groupes qui en réalité sont d'accord sur tout.

Plus une affirmation est répétée plus elle a de chances d'être crue… pas certain que ça fonctionne.

[AvrilBaby]

Eh bien ça alors, c’est drôle :-D

Me traiter de « comparse du Grip ( ?) », simplement parce que je défends une technique de division différente de la vôtre !

Le monde n’est pas si petit quand même, et il n’y a pas que moi et Louis Barthas (alias le Grip si j’ai bien compris ?) qui ne fassions pas poser les soustractions dans ce monde. Vous aurez compris que je ne connais ni le Grip ni Louis Barthas, encore que la Parisienne que je suis aimerait bien découvrir le beau pays cathare…

Pour revenir au sujet : Ce que je trouve inquiétant, c’est que selon vous les élèves ne puissent pas concevoir que 79 soit plus proche de 80 que de 70.

[vieuxmatheux]

Pour rester dans le sujet, ce que je trouve inquiétant, c'est que selon vous il suffise de savoir que 79 et plus proche de 80 que de 70 pour répondre à la question.

58 est plus proche de 60 que de 50 (je le comprends et espère bien que les élèves le comprennent aussi).

Cependant, cette proximité est vraie à la fois dans la division 2380 : 58 et dans la division 2560 : 58

Pourtant, il ne faut pas faire la même chose… or selon vous c'est évident.

Je crains que votre précédent message ne mette surtout en évidence, outre votre amour du pays Cathare, le fait que vous n'ayez toujours pas compris la division.

Ce n'est pas une honte.

En ce qui me concerne, j'étais très faible en anglais dans mon enfance et je le suis malheureusement resté. Ce n'est pas non plus une honte, seulement une de mes limites, mais je m'abstiens par soucis de cohérence (et peut-être par peur du ridicule) de donner des conseils en matière de pédagogie des langues étrangères.

[AvrilBaby]

Si comme vous dites je n'ai pas compris la division, mon fils de huit ans à qui je viens de la faire poser (en moins de trois minutes, pose incluse), l'a comprise, lui :

Et s'il a compris comment résoudre 2380 : 58, il sait aussi faire 2560 : 58. La technique marche pour toutes les divisions !

[LouisBarthas]

Dans l'exemple suivant de Louis Barthas :

Dans la pratique, pour diviser, 3847 par 72, on dit : Je sépare un chiffre à la gauche du diviseur et deux chiffres à la gauche du dividende.

En 38, combien de fois 7 ? ... 5 fois ; J'écris 5 au quotient.

5 fois 2 ... 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4. J'écris 4 et je retiens 1.

5 fois 7 ... 35 ; 35 et 1 ... 36 ; 36 ôté de 38, il reste 2. J'écris 2.

etc."

On se garde bien de proposer 3847 divisé par 79 dans lequel, une fois qu'on a séparé un chiffre au diviseur et deux au dividende, on pose 5 au quotient… qui n'est pas le premier chiffre du quotient.

C'est précisément un des cas dans lesquels les enfants qui apprennent ce type de mécanique sont pour la plupart désorientés : en appliquant strictement la méthode qu'on a apprise, ça ne marche pas. Qu'est-ce qui nous alerte ? Comment décide-t'on qu'il ne faut pas appliquer la méthode apprise ? Quand on sera revenu en arrière (si on y pense) aura-t'on encore gagné du temps ?

On peut évidemment décider de ne pas proposer ce cas…

Je pense que c'est là prêter à nos anciens instituteurs une mauvaise foi qu'ils ne possédaient assurément pas comme on peut le constater dans cette page déjà présentée :

http://i73.servimg.com/u/f73/18/03/01/09/311.jpg

Nous faisions beaucoup d'opérations à l'époque, dans les années 60, et je me souviens clairement que les situations où un chiffre du quotient se révélait trop grand étaient fréquentes. On s'en apercevait lorsque la dernière soustraction mentale s'avérait impossible. C'était irritant et, effectivement, nous perdions du temps car il fallait recommencer pour ce chiffre. Certaines divisions s'avéraient même redoutables parce que ce retour en arrière pouvait concerner plusieurs chiffres du quotient et qu'il fallait, dans certains cas, baisser de plusieurs unités un même chiffre.Nous devions parfois carrément recommencer l'opération tellement il y avait de ratures !

Je n'avais pas suffisamment d'aisance en calcul et, dans le besoin d'être rassuré, je ne pouvais ou n'osais pas anticiper mentalement les calculs. Mais certains en étaient peut-être capables. En tout cas, dans l'exemple ci-dessus, je pense qu'il ne me serait jamais venu à l'esprit d'arrondir à 80 le diviseur.

Ceci dit, même considéré comme un mauvais élève en "calcul" (on ne disait pas mathématiques à l'époque), j'étais capable d'effectuer ce type d'opérations ainsi que celles où le dividende et le diviseur sont décimaux.

Je n'ai pas toujours défendu la technique traditionnelle de la division. A mes commencements, au début des années 80, je pensais qu'en faisant poser les soustractions au dividende, on facilitait la compréhension, on donnait du "sens", améliorant ainsi la réussite. C'est au fil des ans, par l'expérience, l'observation, la comparaison avec mes collègues plus âgés qui pratiquaient "à l'ancienne" et obtenaient de meilleurs résultats que j'ai changé d'avis. J'ai également été frappé par le plaisir et la fierté que nombre d'élèves pouvaient éprouver à effectuer les divisions ainsi. C'est parce que cette technique très stimulante pour l'esprit, permettant de résoudre rapidement de façon sûre et en un minimum d'espace n'importe quelle division, rassure et procure un sentiment de maîtrise intellectuelle. En un mot, elle donne le goût des mathématiques.

Mais il faut débuter tôt, ne pas attendre le CM1 pour commencer à enseigner la division comme je le vois encore trop souvent dans les écoles. Comme dans l'exemple que j'ai pris plus haut, on peut, dès le CP, enseigner la division par 2 et 5 pour de très petits nombres, toujours en manipulant des objets. Partager dix bonbons entre cinq enfants permet d'en distribuer 2 à chacun : 10 / 5 = 2

5 / 2 = 2 ; il reste 1 et l'on n'a pas besoin de poser la soustraction sous le dividende, l'enfant voit qu'il reste un bonbon, il a déjà fait la soustraction dans sa tête.

Par contre, il faut apprendre à effectuer la soustraction en commençant par le bas :

17 / 5

En 17, combien de fois 5 ? ... 3 fois

3 fois 5 ... 15 ; 15 ôté de 17 ... reste 2.

Enfin, pour clore toute polémique, je ne suis pas membre du GRIP et ne connais pas AvrilBaby !

[vieuxmatheux]

Comme le dit Louis Barthas :

"Nous faisions beaucoup d'opérations à l'époque, dans les années 60, et je me souviens clairement que les situations où un chiffre du quotient se révélait trop grand étaient fréquentes. On s'en apercevait lorsque la dernière soustraction mentale s'avérait impossible. C'était irritant et, effectivement, nous perdions du temps car il fallait recommencer pour ce chiffre. Certaines divisions s'avéraient même redoutables parce que ce retour en arrière pouvait concerner plusieurs chiffres du quotient et qu'il fallait, dans certains cas, baisser de plusieurs unités un même chiffre. Nous devions parfois carrément recommencer l'opération tellement il y avait de ratures !"

Il me semble que cet élément devrait être signalé quand on affirme sans nuance que la division sans poser les soustractions est plus rapide.

Je ne mets pas en cause la bonne foi des enseignants des années 60, en revanche, qu'on fasse aujourd'hui l'apologie d'une technique de division en taisant les difficultés considérables qu'elle comportait (et dont manifestement vous étiez parfaitement conscient) me sidère.

Il en faut des efforts pour que vous admettiez que tout n'était pas si rose !

Qu'on le regrette ou non, le temps disponible pour l'entraînement au calcul est moindre aujourd'hui que jadis, et si je suis bien d'accord pour dire que le CM1 pour démarrer la division (surtout si on attend la fin) c'est trop tard, on ne peut pas avoir aujourd'hui un entrainement au calcul aussi intense que quand la semaine d'école était de 30 heures, sans anglais, sans…….

Il est donc légitime de se demander si une technique, qu'un bon nombre d'élèves (mais pas tous) maitrisaient en 1960 est encore possible dans les conditions actuelles. Si on la choisit, il faudra y consacrer beaucoup de temps… au détriment de quoi ?

Par ailleurs, si ce travail technique favorise le calcul mental, il n'est pas certain du tout qu'il favorise la bonne compréhension du sens de la division.

Des étapes comme "je prends deux chiffres au quotient" ou "et j'abaisse le 4" ont beaucoup à voir avec "abracadabra".

[AvrilBaby]

Cette discussion est tout à fait passionnante.

Je reviens sur la question de l'arrondi. Dans l'exemple 2380 : 58 si pour une division à deux chiffres au diviseur, on dit aux enfants d'arrondir logiquement à la dizaine supérieure à chaque fois que l'unité est de 5 et plus (voire même de 4 en fonction du dividende), on réduit considérablement le risque d'erreur. Pourquoi ne leur avoir pas donné cette clé dès le début ?

[Blaise]

Qu'on le regrette ou non, le temps disponible pour l'entraînement au calcul est moindre aujourd'hui que jadis, et si je suis bien d'accord pour dire que le CM1 pour démarrer la division (surtout si on attend la fin) c'est trop tard, on ne peut pas avoir aujourd'hui un entrainement au calcul aussi intense que quand la semaine d'école était de 30 heures, sans anglais, sans…….

Il est donc légitime de se demander si une technique, qu'un bon nombre d'élèves (mais pas tous) maitrisaient en 1960 est encore possible dans les conditions actuelles. Si on la choisit, il faudra y consacrer beaucoup de temps… au détriment de quoi ?

Par ailleurs, si ce travail technique favorise le calcul mental, il n'est pas certain du tout qu'il favorise la bonne compréhension du sens de la division.

Des étapes comme "je prends deux chiffres au quotient" ou "et j'abaisse le 4" ont beaucoup à voir avec "abracadabra".

Comme l'indiquait Louis Barthas, c'est à partir du CP qu'il faut considérer le problème de la division posée sous forme de potence. C'est vraiment là qu'elle peut commencer à prendre du sens. Dans le partage de 17 bonbons entre 3 enfants, on obtient deux résultats : 5, la part de chaque enfant, et 2, le nombre de bonbons restants.

- Quelle forme de notation meilleure que l'écriture en potence peut-on trouver pour noter ces deux résultats ?

- Quelle "formule magique" meilleure que "en 17 combien de fois 3 ?" permet de mieux saisir le sens de l'opération ? Après manipulations bien sûr : on retire autant de fois que possible 3 bonbons du paquet de 17 pour distribuer à 3 élèves.

- Quelle "formule magique" meilleure que "15 pour aller à 17" permet de trouver le reste de bonbons ?

- Faut-il pour cela poser la soustraction ?

Non seulement ces étapes permettent d'installer un automatisme qui sera fort utile pour la technique opératoire, mais, appliquées à de petits nombres, elles facilitent l'accès au sens des deux opérations les plus complexes : la soustraction et la division.

[vieuxmatheux]

Sur la question des formules magiques, je remarque que Blaise ne répond pas sur les exemples que je propose.

Mais même en reprenant un de ceux qu'il a choisi "en 17 combien de fois 3" ce n'est pas si simple :

Bien entendu c'est parfaitement clair tant que la division est 17 : 3

Mais si elle est 1745 : 3 le "17" qu'on voit écrit ne signifie en réalité pas 17 mais 1700, pourquoi alors se dire "en 17 combien de fois 3".

Si la division était 1717 : 3, la question "en 17 combien de fois trois ?" concernerait clairement les 17 unités, pas les 17 centaines.

On peut régler la question en disant que si dans 17 il y a 5 fois 3, il est évident que dans 1700 il y a 500 fois 3.

C'est peut-être évident… mais c'est faux : dans 1700, il y a 566 fois 3.

Alors, à part qu'il faut faire comme ça, que dit-on pour que cette étape ait du sens ?

[Blaise]

On peut régler la question en disant que si dans 17 il y a 5 fois 3, il est évident que dans 1700 il y a 500 fois 3.

C'est peut-être évident… mais c'est faux : dans 1700, il y a 566 fois 3.

Alors, à part qu'il faut faire comme ça, que dit-on pour que cette étape ait du sens ?

J'avais pourtant précisé "appliqué à des petits nombres".

J'ai du mal à voir où vous voulez en venir, dans 17 centaines, il y a 5 centaines de fois 3, ou 3 fois 5 centaines, où est le problème ?

[Kokoyaya]

Dans ce cas, on peut faire comme j'ai vu faire certains pour que les enfants n'oublient pas une étape (surtout quand il y a 0 fois) : préécrire les colonnes m c d u dans le quotient. Est-ce que ça ferait plus sens ?