division CM2

[vieuxmatheux]

Je suis bien d'accord que pour des petits nombres il n'y a pas de problème, le problème est quand on passe à des nombres plus grands.

Pour 1743 : 3, je maintiens que faire dire "en 17 combien de fois 3" fonctionne mais n'a pas vraiment de sens.

Si on explicite que les 17 sont 17 centaines, on peut dire comme le propose Blaise que "dans 17 centaines, il y a 5 centaines de fois 3, ou 3 fois 5 centaines"…

Le problème est que si on dit "en 17centaines il y a 5 centaines de fois 3" ça revient à dire que le quotient de 1700 par 3 est 500 puisque quand on pose 1700 : 3, on se pose la même question. Pourquoi la même question n'appelle-t-elle pas la même réponse selon les circonstances ?

A moins qu'on se dise "dans 17 centaines, combien de centaines de fois 3 ?" mais là on s'approche du charabia.

Par ailleurs si on choisit de dire que dans 17 centaines il y a 3 fois 5 centaines ou 5 fois 3 centaines c'est vrai… mais ça ne répond pas à la question posée "combien de fois 3 ?" et non "combien de fois 3 centaines" ou "combien de fois 5 centaines".

Quelle que soit la réponse qu'on apporte, dès qu'on dépasse la simple traduction d'une situation qu'on peut résoudre par la manipulation ou l'évocation des petites quantités (17 : 3) l'algorithme est loin d'être aussi simple à comprendre que certains le prétendent.

Personnellement, je ne suis pas choqué si on enseigne une technique comme une "boite noire" : on apprend à la faire fonctionner, on comprendra plus tard pourquoi ça marche. Mais il me semble que pour que ce soit acceptable, il faut deux conditions :

1) on assume clairement que c'est une boite noire, on le dit aux élèves, on ne fournit pas des "explications" qui n'en sont pas.

2) ça reste l'exception dans l'année de mathématique, la règle reste qu'on vise la compréhension. On pourrait par exemple imaginer en tant que maître qu'on dispose pour l'année de trois ou quatre cartons "boite noire".

[papili]

Pourquoi ne peut-on pas, dans un premier temps, au Cours Élémentaire 1ère année, pour les élèves ayant commencé à diviser de petites quantités en grande section et au cours préparatoire, dire "En 17 centaines, combien de fois 3 centaines ?"

De toute façon, on peut aussi, si cela nous choque, faire dire : "En 17 centaines, combien de centaines dans chaque groupe, si l'on fait 3 groupes ?"

Les élèves ont à ce moment de la progression déjà travaillé sur la commutativité de la multiplication, ils savent qu'on peut "naviguer" de l'un à l'autre selon les besoins.

Par ailleurs, les enfants ont l'habitude de travailler avec des bouliers ou tout autre type de matériel représentant chacun une centaine. Ils ont, pendant leurs classes antérieures, rangé par trois les objets de manipulation, donné le nombre de "paquets de trois". Ils les ont aussi partagé en trois paquets égaux et donné le nombre d'unités dans chacun des paquets. Dans les deux cas, ils ont pris l'habitude de placer à part, les objets surnuméraires et de nommer leur total, le reste. Lors de leur première année d'élémentaire, ils ont appris à utiliser la potence et savent écrire le quotient à sa place et le reste sous le chiffre des unités du dividende.

Ils n'ont donc que deux petits pas de plus à faire.

Le premier, ils l'ont déjà franchi en début d'année, en ne se servant plus du matériel qu'ils ont remplacé par leur connaissance (ou leur utilisation) des tables de multiplication : se dispenser d'un matériel encombrant.

Le second, c'est de raisonner successivement sur les centaines (en 17 centaines, combien de fois 3... centaines ou bien de centaines dans chacun des trois paquets), puis sur les dizaines (il me reste 2 centaines, c'est 20 dizaines que je reporte avec les 4 dizaines du nombre de départ : en 24 dizaines combien de fois 3... dizaines ou combien de dizaines dans chacun des trois paquets, 8 et il me reste pas de dizaines à partager, j'écris donc 0 sous le chiffre des unités du dividende partiel)... Je ne continue pas ma "démonstration" pour les unités, je pense que tout le monde a compris.

Lorsqu'au cours élémentaire 2e année, on repart sur ces bases-là, avec des élèves qui, même si au bout d'un moment la routine a enfermé dans la "boîte noire" la technique opératoire de la division, on peut envisager sereinement en fin d'année, de passer à deux chiffres au quotient, après avoir bien sûr bien mis en place la technique opératoire de la multiplication à deux chiffres.

L'habitude de calculer de tête des soustractions du type "28 pour aller à 31 ; 49 pour aller à 55 ; ..." rend inutile l'écriture des soustractions intermédiaires et facilitera l'étape suivante.

Évidemment si, au début, on prend garde à toujours proposer des diviseurs dans lesquels le chiffre des dizaines est largement supérieur au chiffre des unités, on simplifie la mise en place raisonnée de la procédure qui, quoi qu'on fasse, retournera au bout d'un moment dans la boîte noire réadaptée aux nouvelles contraintes.

Lorsqu'on passera à la dernière étape en ce qui concerne la division euclidienne, le fait d'avoir pris l'habitude de ne pas écrire les soustractions intermédiaires facilitera grandement le travail. Les élèves pourront passer par la dizaine supérieure comme le proposait notre collègue hier pour s'assurer que "c'est possible" ou que "ça ne se peut pas". Ils pourront ensuite, juste en raisonnant "de tête" vérifier si leur quotient partiel convient ou s'il faut l'augmenter ou le diminuer de 1 (tiens, nous retrouvons nos files d'opérations de grande section, ajouter 1 ou enlever 1).

Je crois avoir été bien terre à terre... Sans doute notre ami professeur de mathématiques va-t-il trouver bien des défauts et des approximations à mes propos. J'espère qu'il sera indulgent...

En tout cas, je le rejoins sur un point : le manque d'heures de classe nuit énormément aux élèves et ce sont les plus fragiles, les moins accompagnés à l'extérieur de l'école qui en pâtissent le plus.

Ajoutées à des programmes pas toujours bien conçus qui compliquent les choses au lieu de les simplifier, elles conduisent les professeurs des écoles à user et abuser des "boîtes noires" et cela nuit énormément à une bonne automatisation construite et réfléchie des procédures.

[JBB]

Dans ce cas, on peut faire comme j'ai vu faire certains pour que les enfants n'oublient pas une étape (surtout quand il y a 0 fois) : préécrire les colonnes m c d u dans le quotient. Est-ce que ça ferait plus sens ?

Je le fais, ça marche et j'ajoute même un signe X à côté de la barre horizontale de la potence....

La division est une technique opératoire complexe nécessitant manipulation (pour le sens et de nombreux "problèmes")... Et des bases solides en numération...

Pour ma part, lorsque j'aborde la technique "pure et dure" de la division, (NB avec des élèves de Clad qui sont souvent peu sûrs d'eux, mais qui n'ont rien pané à la division les années antérieures, ), je commence avec des divisions à un chiffre avec des tables connues, 2, 3,etc et on "image" le propos en "partageant"...

Aura-t-on chacun au moins 10 ou une D, 100 ou une C...

On matérialise le nombre de chiffres du quotient par des points en écrivant CDU au dessous... A

partir de là, on déternine dans le dividende ce qu'on partage C,D,U ....

On pose le fameux "chapeau" qui indique la quantité de CDU à partager... etc... etc...

J'oubliais.. je n'utilise pas la célèbre formule : en 15, combien de fois... peu "parlante" pour certains en la remplaçant par : avec 15 (c,d,u), on fait trois tas de 5...)

Etape suivante lorsque la D à un chiffre est maitrisée, on se paie le "luxe" de ne plus poser les calculs (soustractions)...

Puis on passe au diviseur à 2 chiffres...

Les deux aspects (partition et quotition) sont évidemment travaillés à parts "égales" dans les problèmes...

Je n'évoque ici que des remarques qui ne sont que de la "cuisine", sans jeter les remarques théoriques développées dans les pages au-dessus avec l'eau du bain...

JBB