sujet orléans-tours, poitiers 2003

[JOE]

l'énoncé pour ceux qui voudraient s'entraîner :

un bureau d'études a réalisé un prototype de cornet à glace qui a la forme d'un cône de révolution. ses dimensions répondent à la contrainte suivante : lorsque le cornet est complètement rempli de glace et surmonté d'une demi-boule de diamètre 4 cm, le volume de la glace d ecône rempli à ras, doit être égal, à celui de la demi-boule qui le surmonte.

1) quelle est, en cm, la hauteur h du cône?

on rappelle

volume du cône = 1/3 Pi r²h

et volume d ela boule =4/3pi r au cube

2. lors d'une 2ème étude, en gardant la même forme de c ône (le même angle de cône) on décide de doubler sa hauteur.

a) combien ce nouveau cône rempli à ras peut-il contenir d'équivalents de boules de 4cm de diamètre? le terme équivalent signifie que tout le volume est occupé par de la galce.

b)le calcul du nb d'équivalents de boules de 4 cm de diamètre que pourrait contenir un cône en fonction de sa hauteur relève-t-il d'une situation de proportionnalité?

c) le nouveau cône vérifie-t-il la même contrainte que le premier, à savoir : égalité du volume d ecône et du volume d ela demi-boule qui le surmonte?

3. on appelle "cône idéal" tout cône de révolution dont le volume intérieur est égal au volume de la demi-boule qui peut le surmonter comme dans la question1. un cône obtenu par réduction ou agrandissement de la hauteur d'un cône idéal est-il encore un cône idéal?

OUF <_<

bon, merci aux bonnes âmes qui voudront se pencher dessus et mettre leurs réflexions sur le site.

je précise que j'ai la solution, mais je ne la comprends pas bien, donc je voudrai voir vos solutions pour comparer avec ma solution et ensemble nous comprendrons bien tous ce problème...

merci

[PetiteMarie]

Coucou me revoilou

Bon c'est 17h30, càd un peu tard pour mon petit cerveau anesthésié par le bruit des enfants en cette journée sans école

je vais essayer de te répondre mais sans grande conviction, il n'était pas évident ce sujet (surtout que je suis un peu allergique à la géométrie!!!)

1- Ils sont gentils de redonner les formules , il n'y a plus qu'à appliquer

Volume cône=volume 1/2 boule ssi 1/3*pi*r(carré)*h=4/6*pi*r(cube)

avec r=2cm et 4/6 car on parle de 1/2 boule

d'où : 1/3*pi*4*h=4/6*pi*8

h=4cm (jusque là, ça va...)

2- la hautuer du cône est doublée; tu prux vérifier grâce à Thalès que le rayon double aussi (4/8 =2/x d'où x=4 cm nouveau rayon)

Donc Vcône= 1/3*pi*4(carré)*8=134cm(cube)

V boule de 4 cm de diamètre : 4/3*pi*2(cube)

Si tu fais le rapport des 2, tu trouve 4 donc le nouveau cône contient 4 boules (8 demi boules)

la situation n'est pas proportionnelle car en doublant la hauteur, on multiplie le volume par 8

La nouvelle demi boule a donc un rayon de 4 cm donc son volume est

V=4/6*pi*4(cube)=134cm(cube), càd le même volume que le cône

3- vu la question précédente, je dirais oui mais pour la justification je ne sauraistrop quoi dire

Voilà' je ne sais pas si je t'ai vraiment aidée mais bon le WE c'est dur!!!

[JOE]

tu as tout juste... :P

explication pour le 3 : réduire ou agrandir revient à multiplier la hauteur h par un nombre k (nb réel positif non nul). par conséquent r est également multiplié par k. en fisant les calculs, les deux volumes étant multipliés par le même nbre k au cube sont encore égaux.

bon, me concernant :

d'accord pour le 1.

pour le 2, je ne vois pas le raport avec thalés. peux-tu m'expliquer?je comprends pas : 4/8=2/x

4=hauteur petit cône?

8 celle du grand cône?

2 = rayon petit cone?

et x, c'est pas 2r?

et ensuite, faut vraimeent que je reprenne...

[PetiteMarie]

Salut Joe,

Je ne sais pas si dans la carrection que tu as ils utilisent Thalès mais en ce qui me concerne :

dans la cone tu peux considérer un triangle rectangle défini par le sommet du cône, le centre du cercle de révolution et n'importe quel point appartenant au cercle

dans le cercle initial,la hauteur vaut 4cm et le rayon 2cm

si tu double la hauteur tu obtiens un nouveau cône et le plan du nouveau cercle de révolution est parallèle au précédent (c'est pas facile de s'expliquer à distance...)

Si tu fais le dessin tu peux retrouver Thàlès 4/8=2*x

mais au final tu retrouves bien que le rayon a doublé en fait Thalès c'est juste pour démontrer ce que tu a intuité...

[JOE]

oui, j'ai compris car justement dans ma correction ils parlaient de thalès, je rois que j'ai compris ce que tu m'expliques et donc ma correction. je te redirai...en fait, je ne voyais pas le triangle rectangle, mais j'ai compris. _bl_sh_