Question bête en géométrie : le cercle fait-il partie des figures plan

[noiramino]

J'ai un peu honte de poser cette question mais je me replonge dans les programmes de cycle 3, après les avoir à peine survolés à l'IUFM, et au sortir de 3 ans de maternelle...

J'ai un peu perdu le vocabulaire de géométrie !! Le cercle fait-il partie des "figures planes" ? Ou bien "figure plane" est-il synonyme de polygone ?

Merci !!

[vieuxmatheux]

Oui oui, le cercle fait bien partie des figures planes.

Figure plane ça veut juste dire qu'on peut les tracer sur une surface plate comme un tableau ou une feuille de papier posée sur une table.

Des exemples d'objets évoquant des lignes non planes : un ressort métallique, une ficelle nouée

Par ailleurs, je trouve qu'il pourrait y avoir de la honte à faire semblant de savoir, pas à poser des questions :-)

[Pepettebond]

le mot juste

polygones

tu peux aussi consulter wiki cercle , polygones réguliers, calculs de pi

une définition du cercle: polygone particulier dont tous les segments sont des points, il y a donc une infinité des segments , c'est une des bases du calcul de pi.

[noiramino]

Merci !!!

[vieuxmatheux]

Objection : le cercle n'est pas un polygone, à moins de couper les cheveux en 4… un polygone a un nombre (fini !!) de côtés…surtout à l'école primaire.

Par ailleurs, si on accepte que les côtés peuvent être en nombre infini et réduits à des points, on obtient une courbe qui n'a aucune raison d'être un cercle, ça ne définit donc pas du tout le cercle.

[Yann11]

Bonjour Noiramino,

Je viens de tomber sur ta question déjà ancienne du cercle comme figure plane qui moi aussi me pose problème, et je crois qu’elle est loin d’être stupide . Je précise qu'issu d'une formation scientifique je pratique depuis 25 ans un métier scientifique et suis en train de passer « sur le tard » le CRPE. Je te fais donc part de mes réflexions sur le sujet au cas où il t'interesserait encore.

On trouve dans Wikipédia la définition suivante : « Une forme géométrique simple peut être décrite par un objet géométrique de base tel qu'un ensemble de deux ou plusieurs points, une ligne, une courbe, un plan, une figure plane (par exemple carré ou un cercle), ou une figure solide (cube ou une sphère, par exemple). »

En s’en tenant à cette définition, le cercle semble bien être une figure plane, comme le polygone, mais il y a, à mon avis une ambiguité. Car on trouve aussi : "Le polygone est consituté par 3 éléments : un suite finie de points appelés sommets, les segments qui réunissent ces sommets et enfin une partie ouverte et bornée du plan, appelée intérieur et dont la frontière est contenue dans la réunion des côtés."

Or par définition le cercle n’est pas constitué par cette partie du plan "appelée intérieur" , il est seulement la frontière. Donc de mon point de vue, puisqu'il n'est pas une portion du plan il ne devrait pas s'appeler figure plane; la figure plane devrait être le disque et non le cercle.

Essayons d'aller un peu plus loin: Les programmes disent que l’élève doit connaître "la longueur d’un cercle" en fin de CM2.

La longueur d’un cercle ? Je n'ai jamais entendu parler de ça, à mon âge!

A première vue j’aurais pensé au diamètre (cf. longueur d’un rectangle)... mais non la longueur du cercle est la longueur de la circonférence, soit le périmètre du disque.

Alors peut-on parler du périmètre d'un cercle? Oui car c'est une figure plane et le périmètre est la longueur du bord de cette figure, on se mord le queue!

Ainsi je réalise que dans le cas de toutes les formes géométrique que je connais on ne fait pas la distinction entre la frontière qui délimite la surface et la surface délimitée par cette frontière . Il n’y a pas de mots pour désigner les 4 traits autour du carré, c’est la même chose que la surface délimitée par les traits, on appelle ça un carré et voilà, de même par exemple pour l’ellipse.

Sauf dans le cas du cercle, là il y deux mots : cercle et disque !

Je vois d'ailleurs (toujours dans Wikipédia) que: "Pendant longtemps, le langage courant employait le terme de " cercle " autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe; la surface étant, quant à elle, appelée disque."

Du coup faut pas confondre et employer un mot à mauvais escient, ce que ne manquent pas de faire beaucoup de monde évidemment, en parlant allégrement de surface d’un cercle, ce que chacun comprend évidemment!

Pour l’élève de CM2, moi je crois qu'il vaut mieux lui parler de périmètre d'un cercle plutôt que de longueur car j'ai bien peur ces subtilités mathématico-linguistique de "l'enduise d'erreur".

Quant à la définition rigoureuse du terme figure plane je ne l'ai toujours pas trouvée, je vais demander à une copine agrégée de Math mais j'ai bien peur qu'elle m'envoie bouler avec ce genre de questions dont bien peu de gens, à vrai dire, se préocupent.

Yann

[Mercredi!]

Ici, on se place en géométrie euclidienne. Une figure plane est un figure qui s'inscrit dans un plan. Le cercle est une figure plane, dont la definition'est : ensemble de points situés à égale distance d'un autre point dénommé centre du cercle. Le cercle n'est pas un polygone, on ne lui définit ni côtés, ni sommets.

Je ne m'étais jamais fait la réflexion qu'il y avait deux termes pour le cercle, cercle et disque et pas pour les autres figures ( et tant mieux non?). C'est intéressant, est ce valable aussi dans d'autres langues?

[Ekole]

Le cercle se définit comme une courbe algébrique plane, c'est un ensemble de points P qui se trouvent à une distance égale d'un point A donné.

Le disque est l'ensemble des points qui se trouvent à une distance inférieure ou égale d'un point A.

C'est un abus de langage de parler de surface du cercle. La longueur du cercle correspond à sa circonférence.

D'après le Dictionnaire des mathématique de François le Lionnais

Dans son dictionnaire de mathématiques élémentaires' Stella Baruk donne la même définition , en ajoutant que l'ensemble des points se trouvant à l'extérieur du cercle, donc à une distance supérieure de A n'a pas de nom particulier.

Par contre on a coutume de considérer comme disque les points qui sont à la frontière entre l'extérieur et l'intérieur et ceux sui sont l'intérieur du disque.

[vieuxmatheux]

On peut aussi remarquer que le langage courant aide à retenir la différence entre cercle et disque : cette différence est la même qu'entre les objets nommés "cerceau" et "disque".

Ceci dit, je pense qu'il ne faut pas accorder trop d'importance à cette question. Comme certains l'ont fait remarqué au début de ce sujet, le cercle est la seule figure pour laquelle il existe ces deux mots différents pour désigner la ligne et la zone intérieure. Pour un carré, un triangle ou une ellipse, le fait qu'il existe un seul mot ne pose aucun problème.

Je ne sais d'ailleurs pas pourquoi, concernant le périmètre, le cercle est également la seule figure disposant d'un mot spécial : circonférence (s'agit-il d'ailleurs de la circonférence du cercle ou de celle du disque ? On voit bien que dans le domaine on peut pinailler à l'infini sans que ça aide beaucoup à comprendre les concepts en jeu).

Par ailleurs, attention aux définition un peu pompeuses qui n'ont pas de sens à l'école élémentaire : qu'est-ce qu'une courbe algébrique par exemple ? Quelle différence y a-t-il avec une courbe non-algébrique ? Même la définition comme l'ensemble des points situés à égale distance du centre est une définition pour le maître : les enfants savent reconnaître un cercle avant de savoir ce qu'est un point, et c'est en observant, en traçant, en travaillant sur des objets circulaires que l'égalité de distance entre le centre et les points du cercle apparait.

De ce point de vue, il n'y a pas de différence entre le cercle et le carré, qu'on reconnait bien avant de savoir ce qu'est un angle droit.

[Yann11]

Bonjour à tous,

Je suis content de voir que mon intervention a suscité quelques réactions, et suis tout à fait d'accord avec vieuxmatheux sur le fait qu'il ne faut pas accorder trop d'importance à ces questions, surtout en CM2 où de toutes façons la surface du cercle... euh pardon l'aire du disque, n'est pas au programme. Effectivement l'objet disque et l'objet cercle existent (bien que rigoureusement le cerceau soit un tore) et c'est probablement la raison pour laquelle on fait la distinction. Mais ces notions sont intuives et ne posent à mon avis pas réellement de problème aux enfants.

Un petit retour sur la question de la distinction entre le polygone et le cercle qui me parait intéressante. Polygone veut dire "plusieurs angles" et le cercle n'a pas d'angle: si "pi" etait rationnel alors le cercle serait un polygone, et justement "pi" n'est pas rationnel, c'est bien cela qui fait toute la différence et c'est une différence importante. C'est des "Maths", évidemment pas au programme de CM2, il va falloir encore attendre un petit peu. Cependant je crois qu'il peut être interessant d'utiliser l'idée d'approcher le cercle par le polygone pour introduire le nombre "pi" en CM2 (par exemple par le tracé de rosaces, une des activités préférées de nos chères têtes brunes, blondes ou rousses). C'est la méthode utilisée par Archimède et par tous les mathématiens pour obtenir une valeur approchée de plus en plus précise de ce nombre mythique, mais probablement ne fais-je qu'enfoncer des portes ouvertes: je découvre!

"Bien que trente rayons convergent au moyeu

C'est le vide médian

Qui fait marcher le char"

Lao-Tseu, quelques siècles BC.

[vieuxmatheux]

Pour l'appui sur la rosace pour une première approche de π à l'école élémentaire, je fais une proposition en bas de cette page :

http://primaths.fr/outils%20cycle%203/aire%20et%20perimetre/perimetre.html

Par ailleurs, je ne comprends pas bien ce que signifie "si "pi" etait rationnel alors le cercle serait un polygone".

[Yann11]

Merci pour la remarque car effectivement je suis allé un peu vite en besogne.

L'idée d'Archimède est d'encadrer la valeur du périmètre du cercle et donc de π en découpant le cercle en (n) triangles identiques les uns à l'intérieur les autres à l'extérieur. Si le cercle était un polygone on pourrait trouver (n) entier et le périmètre serait égal à ( n.a ) avec (a) base du triangle de hauteur R.

En fait rien ne prouve que (a) soit un rationnel, et mon raisonnement intuitif qui était d'assimiler (a) à (Rdθ) donne même le contraire puisque (dθ=2π/n) .

Mais je découvre à cette occasion que tg(a/b) n'est pas un rationnel si a et b sont entiers, ce que je ne savais pas il y a quelques heures, et à l'inverse tg(θ) est rationnel si θ n'est pas rationnel.

En prenant le polygone extérieur on a [ a=R.tg(π/n) ], et ainsi (a) est rationnel, ce qui tend à faire penser que ce j'ai affirmé un peu rapidement était probablement juste. La méthode d'Archimède semble d'ailleurs aboutir à un encadrement de π par des nombres rationnels mais je n'ai pas le temps de regarder ça de plus près.

Merci aussi pour le lien que je n'ai pas non plus le temps d'exploiter pour le moment mais que je garde précieusement sous le coude.