Proportionnalité et règle de trois.

[--anonyme--]

Bonsoir,

La semaine dernière j'ai reçu une ex stagiaire M1 (en M2 cette année), et elle m'a dit que la prof de maths de l'IUFM disait que la règle de trois n'est pas le produit en croix. Pour la prof la règle de tois consiste à passer par l'unité...

Du coup je ne sais plus...

[Petit_Gizmo]

Pas de règle de trois chez moi, je fais généralement passer les élèves par des méthodes moins automatisées. Mais il me semble bien que règle de trois et produit en croix, c'est du pareil au même.

[Invité]

Je pensais également que c'était la même chose... Mais il semble que non. Je voudrais donc savoir si mon ex stagiaire a bien compris.

[Invité]

Merci pour ces précisions

[Invité]

N'empêche pour les % sans le produit en croix je trouve cela galère...

[vieuxmatheux]

En fait la règle de trois, c'est le retour à l'unité assorti d'un discours rituel qui permet d'automatiser la chose.

Par exemple : en 3 minutes de marche, je parcours 150 m

en une minute, 3 fois moins.

je parcours donc 150 m : 3 = 50 m en une minute

en 7 minutes, 7 fois plus

je parcours donc 50 m x 3 = 350 m en 7 minutes.

Au passage, si vous avez la curiosité de jeter un œil sur les programmes de cinquième, ils disent explicitement que le produit en croix n'est pas au programme de la classe de cinquième…à plus forte raison pour l'école primaire.

La raison principale est que le produit en croix masque complètement le raisonnement sous jacent, son usage prématuré conduit souvent à faire des produits en croix dès qu'il y a un tableau, que la situation relève ou non de la proportionnalité.

Pour les inconditionnels qui ne veulent pas s'en passer, il est possible de l'appuyer sur un raisonnement analogue à celui qui justifie la règle de trois.

Pour passer de 3 à 7 en deux opérations (multiplication ou division) il est évidemment possible de revenir à l'unité…on retombe alors sur la règle de trois, mais on peut aussi choisir comme étape intermédiaire 21, produit de 3 et 7.

Notre problème précédent peut alors se résoudre ainsi

en trois minutes, 150 mètres

en 21 minutes (7 fois plus) 7 x 150 m soit 1050 m

en 7 minutes (3 fois moins) 1050 m : 3 soit 350 m

[Invité]

Merci vieuxmatheux J'ai bien compris qu'il faut passer par l'unité, mais pour calculer une baisse de 20% par exemple je ne suis pas sure de bien faire.

Je pars du fait que 20% = 0,20 et que pour trouver la variation du prix il faut faire prix X 0,20. Ensuite pour trouver le nouveau prix je retranche ce résultat au prix de départ.

Exemple: un pull coûte 15€ il est soldé de 20%.

Calcul de la baisse: 15 x 0,20 = 3

Calcul du nouveau prix: 15 - 3 = 12€

Je suis en train de retaper tous les exos de proprotionnalité. Est ce que vous voudrez bien jeter un oeil et me dire si cela convient quand j'aurai un peu plus avancé?

Je précise que j'enseigne dans une école où le niveau est très faible et qu'il faut bien décortiquer (en repassant par des notions de CE2 et CM1) pour qu'ils s'approprient la nouvelle notion.

[vieuxmatheux]

Calculer 20% de quelque chose en multipliant par 0,20 ne me semble pas du tout dans l'esprit de l'école élémentaire.

Plusieurs raisonnements s'appuyant sur la linéarité sont possibles, en voici quelques uns :

20% de 15€, c'est 5 fois moins que 100% de 15€, c'est donc 15 € : 5 soit 3 €

10% de 15€, c'est 10 fois moins que 100% de 15€, c'est donc 15 € : 10 soit 1,5 €

20% de 15€, c'est 2 fois plus que 10% de 15€, c'est donc 1,5 € x 2 soit 3 €

et en particulier celui-ci qui est l'application de la règle de trois :

1% de 15€, c'est 100 fois moins que 100% de 15€, c'est donc 15 € : 100 soit 0,15 €

20% de 15€, c'est 20 fois plus que 10% de 15€, c'est donc 0,15 € x 20 soit 3 €

Il me semble que cet exemple montre bien l'intérêt et les limites de la règle de trois :

Intérêt : le passage par 1 permet de trouver un cheminement du nombre de départ à celui cherché en seulement 2 étapes quels que soient ces nombres.

Limites : les calculs faits en utilisant la règle de trois sont parfois plus compliqués que nécessaire, voire hors de portée des élèves de cycle 3.

Exemple : 6 feuilles de papier identiques pèsent ensemble 20g, combien pèsent 15 feuilles ?

Si on commence par diviser par 6 pour utiliser la règle de trois, on est conduit à utiliser une valeur approchée alors que si on ne divise que par 2 tout va très bien.

Il y a là un paradoxe : l'intérêt de la méthode est d'être automatisée…mais il faut savoir ne pas l'appliquer.

[Invité]

pfiouuuuuuuu merci pour cette réponse... je suis encore plus en galère

[vieuxmatheux]

Oups, désolé, ce n'était pas le but.

D'ailleurs j'ai répondu en des termes liés à la proportionnalité parce que c'est le sujet de cette discussion, mais je ne suis pas certain que ce soit le plus adapté pour calculer 20% de quelque chose.

Il me semble important que les enfants sachent que 20% n'est qu'une autre façon de noter 20 centièmes, et ils peuvent utiliser leurs connaissances sur les fractions : 20 centièmes de quelque chose, ça signifie que cette chose est partagée en 100 parties égale et qu'on s'intéresse à 20 parties. On peut donc calculer la valeur d'une des parts, puis de 20 parts.

Si on procède ainsi, le calcul est le même que la règle de trois, pas la façon de le décrire et de le justifier.

[Invité]

Je suis d'accord sur 20% = 20 centièmes. C'est d'ailleurs pour ça que je pensais passer par X 0,20, en réinvestissant les fractions décimales... Mais ça n'est pas conforme aux attentes ...

Je me suis replongée dans Cap maths (que je n'ai quasiment pas utilisé cette année car le niveau de mes élèves est bas et il sera chaque année plus bas pour encore 2 années ). Je vais bidouillier les exos pour les rendres plus accessibles.

PS: Je vais attaquer mes angles par ta séance (celle avec la figure rouge). J'ai déjà imprimé et plastifié les pièces qui me serviront au tableau. Merci beaucoup pour le partage de ton travail.

[vieuxmatheux]

Quand tu auras fait la séance "angles", si tu as des remarques (points délicats, améliorations), n'hésite pas.

Pour le passage par x 0,20 la difficulté ne vient pas de l'égalité entre 20/100 et 0,20 dont on peut espérer que la plupart des élèves l'ont comprise.

En revanche, prendre 20 centièmes de quelque chose n'est pas vu comme effectuer une seule multiplication mais comme un partage suivi d'une multiplication (d'ailleurs on ne sait rien à l'école primaire sur la multiplication des fractions).

Du coup, le passage de "partager en 100 puis prendre 20 parts" à "multiplier par 0,20" est particulièrement difficile.