Avis aux "matheux" : besoin d'aide pour résoudre un exo de

[vieuxmatheux]

Si on note c, d et un les chiffres des centaines, dizaines et unités de A, on a :

A = 100 c + 10 d + u

C = 100 d + 10 c + u

C - A = 100 d + 10 c + u - ( 100 c + 10 d + u ) = 90 d - 90 c = 90 ( d - c ).

Comme C - A = 360, on en déduit que d - c = 4

Le même type de travail à partir de A - B conduit à d - u = 2

Pour prendre en compte le fait que A est multiple de 9, le plus simple est d'utiliser le critère de divisibilité par 9 : cela revient à dire que la somme des chiffres de A est elle même multiple de 9.

Cette somme peut donc valoir 9, 18 ou 27 (chaque chiffre ne pouvant valoir au maximum que 9, la somme ne peut pas être supérieure à 27).

Il faut donc étudier chacun de ces cas, en se ramenant à une seule inconnue à l'aide des égalités établies plus haut.

Par exemple, dans le cas c + d + u = 9

une des possibilités est de remplacer c par d - 4 (puisque d-c = 4, alors d-4 = c)

on obtient alors d - 4 + d + u = 9

le même genre de manœuvre permet de remplacer u par une expression utilisant d… on a alors une équation avec seulement l'inconnue d.

On la résout, et il reste à vérifier en calculant les valeurs de c et u correspondantes si le nombre obtenu convient.

On fait la même chose dans l'hypothèse c+d+u = 18 puis dans l'hypothèse c+d+u= 27… on a alors balayé tous les cas possibles et on peut donc donner toutes les valeurs possibles de A.

[Elocrpe]

Merci pour cette réponse rapide !

[Elocrpe]

Bonjour,

petite question :

Additionnez tous les nombres entiers de 1 à 99. Quel résultat obtient-on ?

(1 + 99 = 100) + ( 2 + 98 = 100) + (3 + 97 = 100)… Soit "49 sommes faisant 100" + 50 = 49x100 + 50 = 4950.

Pourquoi on ajoute 50 ?? Je bloque !

Merci

[Ekole]

Bonjour,

Tu as 99 nombres, donc 49 couples de nombres (1;99), (2;98), ..., (49;51) dont la somme fait 100. il reste un nombre tout seul, c'est 50.

[Elocrpe]

Merci !

[vieuxmatheux]

Autre astuce classique pour calculer la somme des n premiers entiers, en calculant en réalité le double de cette somme.

Je fais l'exemple avec les dix premiers, même si dans ce cas il est aussi simple de les additionner normalement, mais ça marche quelle que soit la taille du plus grand nombre.

Tu les écris comme ça :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +

10+9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

et avant d'effectuer le calcul, tu groupes les nombres par deux (ceux qui sont écrits l'un au dessus de l'autre)

on constate alors que la double somme vaut 10 x 11

la somme des nombres de 1 à 10 vaut donc (10 x 11 ) : 2

si on a les nombres de 1 à 99 au lieu de 1 à 10, la double somme vaut 99 x 100, donc la somme 99 x 50.

[Ekole]

Bonsoir,

Avis aux "matheux"!

Devinette: Quelle est la différence entre le diamètre et le rayon d'un même cercle?

[vieuxmatheux]

Ouh là, je sèche et ça sent les vacances :-)

[Elocrpe]

Bonjour ! Besoin d'aide encore une fois !

Alors :

on cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours un multiple de 5. Déterminer la plus petite valeur de p.

Je sèche ^^

[vieuxmatheux]

avant de chercher une démonstration, as tu fais des essais ? calculé la somme d'un certain nombre d'entiers impairs consécutifs pour voir quand c'était multiple de 5 ?

En général, c'est ce genre de démarche qui met sur la voie de la solution : il semble bien que quand on prend tant de nombres, ça marche, reste à le prouver.

Si tu préfères démarrer directement avec l'algèbre, tu peux considérer un nombre impair, qui s'écrit donc 2k+1, k étant un nombre entier. Le nombre impair suivant est 2k+3, puis 2k+5…

Exprime alors la somme de ces deux premiers, puis des trois premiers, puis des quatre premiers…et ainsi de suite jusqu'à ce que tu constates que l'expression trouvée est manifestement multiple de 5 (sans oublier de vérifier que les précédentes ne sont pas toujours multiples de 5).

Tu peux aussi négliger provisoirement le fait que les entiers sont impairs et utiliser seulement le fait qu'ils vont de deux en deux (n, n+2, n+4…) tu verras bien si ça donne quelque chose, peut-être que l'introduction de k n'est pas indispensable.

Une méthode plus "savante" consiste à partir de l'expression de la somme des n premiers entiers impairs qui a une valeur très particulière qu'on peut connaître. Si ce résultat ne t'est pas connu, calcule 1+3, puis 1+3+5, puis 1+3+5+7… et ainsi de suite, tu verras que le résultat est remarquable. En admettant que ça continue toujours comme ça (ce qui est vrai), on peut utiliser ce résultat pour trouver la somme de p entiers impairs dont le premier n'est pas 1.

[Ekole]

Bonjour,

Pour la méthode savante de Vieuxmatheux, tu peux représenter les nombres par des points et les organiser en carrés de points....

PS - Réponse de la devinette: le rayon

[vieuxmatheux]

Pour une fois que je fais l'effort de suggérer des pistes sans trop en dire, tu casses mon effet, Ekole : un mauvais point !!!

Pour Elocrpe, Ekole voulait dire ceci : tu peux représenter les nombres par des points et chercher une disposition géométrique intéressante d'un point plus trois points plus cinq points…

à aucun moment elle n'a écrit le mot "carré".