Cadre de travail en géométrie

[doudoulm]

Bonjour

Quelqu'un peut-il me dire ce que l'on nomme cadres de travail de la géométrie ?

Merci.

[vieuxmatheux]

Difficile de répondre à coup sûr, mais il s'agit peut-être d'une référence à Régine Douady et à ses "jeux de cadres".

Si c'est le cas l'idée, en simplifiant grossièrement, est qu'il est souvent fructueux dans l'apprentissage des maths de traiter un même problème, de deux points de vue différents, dans deux cadres différents.

On peut par exemple traiter des questions relatives aux aires par des nombres (calculés ou obtenus par mesure) ou par une approche plus géométrique (découpage, superposition).

[vieuxmatheux]

Je crois, Caliban, que tu raisonnes à partir d'une conception des maths qui est appropriée pour les mathématiques des mathématiciens : un objet n'est rien d'autre que sa définition.

Les mathématiques de l'école élémentaire ne fonctionnent pas ainsi, elles parlent d'objets dont le statut n'est pas toujours très clair. Un carré par exemple n'est pas un objet matériel, mais on sait le reconnaître bien avant d'en énoncer les propriétés et plus encore de le définir.

En ce qui me concerne, je n'utilise pas le concept de jeux de cadres dans mon travail parce que je ne suis absolument pas certain de l'avoir bien compris.

Pour en savoir plus, mieux vaut lire les articles de Régine Douady, je ne suis vraiment pas qualifié pour creuser cette question.

J'essaie quand même un exemple élémentaire en espérant ne pas faire de contre-sens :

si on travaille la multiplication, on peut constater en effectuant le calcul que 3 x 5 = 5 x 3, que 7 x 6 = 6 x 7 mais ce n'est pas très éclairant. L'accumulation d'exemples peut éventuellement convaincre que le phénomène est général, mais elle ne peut pas le faire comprendre, elle ne l'éclaire pas.

Si en revanche on passe dans un cadre géométrique, et qu'on voit 3 x 5 comme le calcul du nombre de case dans un rectangle comprenant trois lignes de cinq carreaux chacune, il est clair que ce rectangle peut aussi être regardé comme comprenant 5 lignes de 3 carreaux… la vision géométrique éclaire singulièrement le phénomène constaté dans le cadre numérique.

[vieuxmatheux]

De mon point de vue, le passage à la vision "disposition en rectangle" est plus qu'une simple illustration par un cas particulier.

Si on constate que 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 on peut écrire 5 x 3 = 3 x 5, mais ça n'éclaire rien.

si on observe ce tableau

O O O O O

O O O O O

O O O O O

et qu'on l'analyse selon les deux points de vue (3 lignes de 5 ou 5 lignes de 3) on voit bien que l'exemple est générique : si on fait le même genre de tableau avec 3 x 6 ou 5 x 8, il est clair qu'on pourra encore l'observer selon ces deux points de vue.

Ce n'est pas une démonstration formelle, mais les caractères essentiels de l'exemple étant clairement conservés pour d'autres valeurs, cet exemple porte en lui la compréhension du phénomène général.

Evidemment, avec des enfants, on ne se limitera pas à un seul exemple, mais on fera constater que dans tout les exemples il y a une structure commune. L'égalité a x b = b x a résulte du fait qu'elle traduit deux façons différentes de dénombrer le même ensemble.

Il n'y a rien de tel si on reste dans le cadre numérique, par exemple si on introduit la multiplication uniquement comme une écriture qui résume une addition réitérée. Le fait que 5 + 5 + 5 soit égal à 3 + 3 + 3 + 3 + 3 peut apparaître comme une simple coïncidence, il ne nous éclaire pas sur l'égalité éventuelle de 5 + 5 + 5 + 5 et 4 + 4 + 4 + 4 + 4

[vieuxmatheux]

Je crois qu'on ne parle pas de la même chose.

En ce qui me concerne, je parle de l'introduction de la multiplication, aux alentours du CE1, il n'est donc pas question d'approche algébrique.

Et dans ce cadre élémentaire, on ne peut pas se passer d'exemples génériques, qui donnent à voir un phénomène, une propriété, que l'on pourrait refaire avec d'autres exemples.

De ce point de vue, la différence entre la multiplication appuyée sur la disposition en rectangle et celle qui traduit une addition réitérée est indiscutable. je ne pense pas tricher du tout, et je ne prétends pas que tous les enfants comprennent ainsi. Simplement, l'idée que pour tous les rectangles dessinés sur un quadrillage, ça ne change rien si on compte les carreaux ligne par ligne ou colonne par colonne est accessible à beaucoup. il n'y a pas besoin pour cela de beaucoup d'exemples

En revanche, je ne connais aucun moyen de faire généraliser la commutativité de la multiplication si

3 x 4 = 4 x 3 signifie pour les enfants 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

En d'autres termes, puisque tu parles d'inférence, il y a quand on travaille avec des enfants jeunes (et même au delà) des voies qui ne relèvent ni de la stricte déduction (puisqu'il n'y a pas de prémisse majeure clairement explicitée), ni de l'induction (puisque ce n'est pas seulement l'accumulation d'exemples qui pousse à conclure).

On peut donner un exemple analogue au niveau du collège quand on commence à travailler sur les bases de l'algèbre.

Comment convaincre que ab + ac = a(b+c) ?

Dans le cas ou a est positif, l'interprétation de ab et ac comme aire de rectangles de dimensions respectives a, b et a, c permet de dégager un procédé toujours valide : juxtaposition des rectangles et calcul de l'aire du nouveau rectangle.

On ne dispose pas forcément de connaissances explicites disant que cette juxtaposition de rectangles ayant une dimension en commun pour former un nouveau rectangle est toujours possible, et même si on en dispose, il est probablement judicieux de ne pas y recourir, de conserver cette étape comme une boîte noire pour aider les élèves à voir l'essentiel.

[vieuxmatheux]

Il me semble vraiment qu'il y a un élément qui t'échappe (c'est peut-être présomptueux de ma part puisqu'évidemment c'est peut-être à moi qu'un élément échappe).

On ne peut jamais garantir que tous les élèves comprendront telle ou telle approche, mais ta formule "ceux qui comprennent comprennent, les autres…" donne à penser qu'alors toutes les approches sont équivalentes. C'est loin d'être le cas.

Dans notre question de l'approche de la commutativité de la multiplication, je suis absolument certain qu'il n'y a pas équivalence.

Un autres élément dont nous n'avons pas encore parlé va dans ce sens.

Dans l'approche par le calcul d'additions réitérées, on ne perçoit l'égalité de 3 x 5 et 5 x 3 qu'après avoir effectué les deux calculs et constaté qu'ils valent 15.

Dans l'approche s'appuyant sur la disposition en rectangle, il n'est nullement nécessaire de calculer le nombre pour affirmer l'égalité : on s'appuie sur le fait qu'un rectangle quadrillé peut être découpé en bandes de deux façons et que ça ne change pas ne nombre de cases, connaissances qui ne sont certes pas formalisées en CP ou CE1 mais dont la mise en œuvre plus ou moins explicite est comprise par un grand nombre d'élèves. On s'appuie alors sur un processus utilisable pour tous les rectangles, et non sur une accumulation d'exemples.

Le seul élément qui peut justifier l'approche par l'addition réitérée est le suivant : Il est probable que pour beaucoup d'enfants, la première signification donnée à la multiplication sera plus prégnante, plus facilement mobilisable que celle qui viendra en second. Si tel est le cas, il faut se demander quelle connaissance est la plus importante :

Savoir que 3 x 5 désigne 5 + 5 + 5 (ou 3 +… selon comment on le lit).

Savoir que 3 x 5 désigne le nombre de cases d'un rectangles qui…

Si la première connaissance nous semble plus importante dans le parcours mathématique de nos élèves, il faut évidemment l'utiliser malgré les difficultés qu'elle entraine pour la commutativité. Ce n'est pas mon point de vue mais ça, c'est effectivement discutable.

Par ailleurs, l'algèbre dans les mathématiques "savantes" c'est essentiellement l'étude des structures (groupes, anneaux, corps…) qui sont en fait des ensembles (de nombres par exemples) munis de lois de composition (des opérations).

Dans la tradition scolaire, l'algèbre désigne plutôt le traitement des nombres en les représentant par des lettres (entre autre la résolution de problèmes à l'aide d'équations).

[vieuxmatheux]

Vu qu'on est dans la rubrique crpe, je ne sais pas si tu es candidat au concours.

Si c'est le cas, même si nous nous sommes bien amusés ici, tu as intérêt à redescendre au niveau des élèves pour préparer ton oral, sinon, tu risques de te faire assassiner.

Il ne s'agit pas de faire de la réthorique, mais d'aider les élèves à comprendre au mieux… ce qui n'a rien à voir.

Je constate d'ailleurs que tu cherches un peu la petite bête théorique, mais que tu ne te places jamais du point de vue des élèves, ce qui n'est pas gênant s'il s'agit seulement d'un jeu intellectuel (stimulant j'entends bien) mais n'aide guère un enseignant.

Tu ne dis par exemple rien sur tout ce qui suit (désolé de me citer moi même) qui est pourtant fort important d'un point de vue professionnel.

Dans l'approche par le calcul d'additions réitérées, on ne perçoit l'égalité de 3 x 5 et 5 x 3 qu'après avoir effectué les deux calculs et constaté qu'ils valent 15.

Dans l'approche s'appuyant sur la disposition en rectangle, il n'est nullement nécessaire de calculer le nombre pour affirmer l'égalité : on s'appuie sur le fait qu'un rectangle quadrillé peut être découpé en bandes de deux façons et que ça ne change pas ne nombre de cases, connaissances qui ne sont certes pas formalisées en CP ou CE1 mais dont la mise en œuvre plus ou moins explicite est comprise par un grand nombre d'élèves. On s'appuie alors sur un processus utilisable pour tous les rectangles, et non sur une accumulation d'exemples.

Le seul élément qui peut justifier l'approche par l'addition réitérée est le suivant : Il est probable que pour beaucoup d'enfants, la première signification donnée à la multiplication sera plus prégnante, plus facilement mobilisable que celle qui viendra en second. Si tel est le cas, il faut se demander quelle connaissance est la plus importante :

Savoir que 3 x 5 désigne 5 + 5 + 5 (ou 3 +… selon comment on le lit).

Savoir que 3 x 5 désigne le nombre de cases d'un rectangle qui…

Si la première connaissance nous semble plus importante dans le parcours mathématique de nos élèves, il faut évidemment l'utiliser malgré les difficultés qu'elle entraine pour la commutativité. Ce n'est pas mon point de vue mais ça, c'est effectivement discutable.

Dernière intervention dans un cadre théorique de ma part (tout jeu doit avoir une fin) : puisque tu considères l'algèbre comme étant, entre autres, la science des grandeurs, je t'invite à lire les articles d'Evelyne Barbin sur l'arithmétisation des grandeurs… un beau paradoxe.