Comprends pas... Forme 2nx5p

[nananaïs]

Bonjour,

Petit problème : dire si une fraction est décimale ou pas, et la correction justifie avec la forme 2nx5p ...

Mais qu est ce que ce la veut dire ?

Exemple : dire si 17/8 est décimale ou pas ?

Merci d avance pour votre aide

[vieuxmatheux]

en fait, une fraction est décimale si on peut la mettre sous une forme où son dénominateur est une puissance de 10 (c'est à dire 10, 100, 1000 …).

Si le dénominateur s'écrit sous la forme 2ⁿ x 5^p, c'est à dire s'il s'écrit avec seulement des deux et des 5 qui se multiplient, on peut rencontrer trois cas :

1) il y a autant de 2 que de 5 (autrement dit n = p).

Par exemple, le dénominateur est 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Il suffit de regrouper différemment ces nombres pour montrer que le dénominateur est 2x5 x 2x5 x ... il n'y a que des 10 qui se multiplient entre eux, c'est une puissance de 10. donc la fraction est décimale.

2) il y a plus de 2 que de 5 (autrement dit n > p).

Par exemple, le dénominateur est 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5

Il suffit de multiplier le dénominateur un certain nombre de fois par 5 (et le numérateur en même temps, pour ne pas changer la valeur de la fraction) jusqu'à ce qu'on obtienne autant de 5 que de 2.

Pour l'exemple, il suffit de multiplier par 5x5, et on obtient ce qu'on souhaite.

On se retrouve alors dans le cas précédent, le dénominateur est une puissance de 10, donc la fraction est décimale.

3) il y a plus de 5 que de 2 (autrement dit p > n). On fait la même chose en multipliant par 2 et non par 5.

Conclusion : Si le dénominateur s'écrit sous la forme 2ⁿ x 5^p, on peut dans tous les cas écrire la fraction sous une forme ou son dénominateur est une puissance de 10, c'est donc une fraction décimale.

Dans le cas de 17/8, c'est égal à (17x5x5x5) / (8x5x5x5) le dénominateur est 1000, la fraction est décimale.

Ceci-dit, dans un cas aussi simple, il suffit de poser la division 17 : 8 = 2,125 (la division "tombe juste") pour conclure.

Les deux méthodes sont cohérentes puisque , oh miracle, 17x5x5x5 = 2125.

La première méthode fournit donc la fraction 2125 / 1000 soit 2,125.

[nananaïs]

Un grand merci!

[chatouny]

on peut le voir si le dénominateur NE contient QUE des puissances de 2 ou de 5 comme ici 8= 2^3 donc on multiplie par 5^3 et on obtient une puissance de 10.
Par contre 1/3 n'est pas une fraction décimale car le dénominateur ne contient pas de 2 ou de 5.

Attention car 1/30 n'est pas une fraction décimale non plus bien que le dénominateur peut s'écrire : 2 x5 x3 car il y a un autre facteur que 2 et 5 donc ce n'est pas une fraction décimale.

De plus 1/30 est égale à 0.03333333...3

Modifié 6 avril 2013 par chatouny

[vieuxmatheux]

Mais 6/30 est une fraction décimale bien que son dénominateur soit 2x3x5.

[felfie]

Il faut prendre en compte la fraction irréductible qui est 1/5 donc on a au dénominateur 2exp0 X 5exp1 c'est pour ça que c'est bien une fraction décimale.

[vieuxmatheux]

Certes, c'était juste pour signaler que ce raisonnement :

"Attention car 1/30 n'est pas une fraction décimale non plus bien que le dénominateur peut s'écrire : 2 x5 x3 car il y a un autre facteur que 2 et 5 donc ce n'est pas une fraction décimale."

est faux même si la conclusion est juste.

en résumé, si le dénominateur d'une fraction est de la forme 2^px5ⁿ, la fraction est décimale

si le dénominateur est de la forme 2^px5ⁿx(autrechose), il faut voir si la fraction se simplifie par (autrechose), ce qui n'impose pas de rendre la fraction irréductible : 5³/5⁷ est évidemment décimale.

[chatouny]

oui, je n'avais pas explicité que je considérais toujours la fraction irréductible.