Multiplication d'un décimal par un entier

[Japet]

je pense que le mieux à faire (mais mes élèves ne le font pas!) c'est de poser l'opération sans les virgules, et d'écrire l'opération en ligne dans laquelle on met les virgules

J'ai une élève de cm2, qui à posé une multiplication de 2 décimaux, en alignant les unités, et comme en haut il n'y avait pas de centièmes contrairement au nombre du bas, elle a fait comme pour les soustractions, elle a rajouté un zéro, qu'elle a utilisé pour son calcul. Mais elle ne l'a pas compté pour placer sa virgule à la fin! du coup c'était faux (pas sûre que ce soit clair mon explication)

[Ekole]

" 37/10 x 12/100 c'est à dire (37x12) /1000 "

Le "c'est à dire " est quand même une étape particulièrement difficile, il n'y a rien d'évident à ce qu'en multipliant des dixièmes par des centièmes on obtienne des millièmes.

Bonjour Vieuxmatheux! Comment ca va?

Je savais bien que je devais faire bien attention à ce que j'allais écrire... !!

J'ai en effet un peu raccourci le propos,

Ce genre de calcul s'inscrit dans une progression sur les fractions, les fractions décimales puis les nombres décimaux et les élèves ont appris à trouver des fractions équivalentes:

Si j'ai 3/100 et que je recoupe chaque centième en dix parts égales, j'aurai dix fois plus de parts et elles seront dix fois plus petites 3/100=(10x3)/(10x100) = 10/10 x 3/100 et c'est dans ce grand moment que l'on dit que les les centièmes x les dixièmes ça fait des millièmes etc!!

On peut même en rajouter une louche avec les mesures de longueur!

[bab33]

hors programme CM2

[Juperlau2]

Oui mais mathématiquement ça a du sens au lieu d'apprendre des "recettes" aux élèves....

[bab33]

Mais là c est du trop haut de gamme ou alors vous avez des bêtes de concours !

[tiniouu]

(Désolée du HS, maîtresse de maternelle, mais matheuse devant l'éternel....)

A quoi ça sert d'apprendre les multiplications des décimaux??????? Y a des gens qui s'en servent, dans la vraie vie...à part les instits de cm?????

(Je sors, et je vous refais la même avec les horribles trucs de grammaire dont on bourre le crâne des gamins et qui ne servent plus jamais ensuite...)

[vieuxmatheux]

La discussion a un peu dérivé car le sujet était au départ sur la multiplication d'un décimal par un entier et on est passé à celle de deux décimaux non entiers, ce qui pose un problème de sens difficile :

tant qu'on en est à 2,57 x 4 ou à 12 x 5,3 on peut toujours penser ça comme une addition réitérée : 4 fois 2,57 c'est à dire 2,57 + 2,57… ou 12 fois 5,3 c'est à dire 5,3 + 5,3…

Quand aucun des deux nombres n'est entier, il y a avant même le problème technique un problème de signification puisque 3,4 x 2,7 ne peut pas s'interpréter comme une addition réitérée.

Il y a au moins deux contextes assez courants où ça sert : le calcul des prix (2,45 kg de pommes à 3,20 € le kg) et celui des aires (la surface d'une pièce rectangulaire de 3,40 m sur 4,30 m).

Evidemment aujourd'hui, presque tout le monde fait ça à la machine… est-ce que ça signifie qu'il ne faut pas enseigner le calcul manuel ? Je ne le crois pas.

Quant à l'opposition entre technique apprise par cœur et technique fondée sur la compréhension, je ne crois pas qu'on puisse avoir une position systématique sur cette question.

Evidemment il est souhaitable que ce qu'on fait soit compris, les maths ne sont pas une collection de trucs arbitraire à appliquer sans savoir pourquoi.

Cependant, certaines explications sont tellement difficiles que je pense qu'elles ne sont pas à la portée des élèves ordinaires… si c'est le cas pourquoi les donner ? pour la satisfaction intellectuelle du maître ?

Evidemment, tout dépend des élèves qu'on a, de ce qu'ils ont appris avant… mais j'ai tendance à penser que pour la multiplication de deux décimaux la justification est tellement compliquée que même si les élèves comprennent chacune des étapes, très peu d'entre eux pourront suivre le fil du raisonnement jusqu'au bout.

Du coup, je serais assez favorable à la politique suivante :

Pour la multiplication d'un décimal par un entier, on justifie avec quelque chose du genre

6 x 3,4 c'est 6 fois 34 dixièmes, on pose donc 6 x 34 dont le résultat est 204, mais comme on sait qu'il s'agit de 204 dixième, on place la virgule pour l'indiquer, on obtient 20,4.

Pour 6,3 x 3,4 on travaille le sens (prix ou aire en particulier) puis on utilise une boite noire : souvenez vous, pour 6 x 3,4 on posait la multiplication sans virgule et on plaçait la virgule ensuite, et bien là ça marche encore, faisons confiance aux matheux qui ont travaillé cette question depuis fort longtemps. Nous posons donc la multiplication 63 x 34 = 2142 puis nous réfléchissons un peu :

6,3 x 3,4, c'est plus que 6 x 3

6,3 x 3,4 c'est moins que 7 x 4

Il faut donc placer la virgule pour que le résultat soit compris entre 18 et 28 : c'est 21,42

Cette façon de faire a deux inconvénients principaux :

• L'effet boite noir : c'est un truc non justifié… que je préfère à une explication trop compliquée mais ça se discute. J'ai pris l'habitude de dire à mes étudiants et stagiaires qu'ils peuvent démarrer une année dans une classe avec 3 cartons "boite noire" qu'ils sortent quand une technique leur semble trop compliquée à expliquer à leurs élèves : il n'est pas scandaleux d'enseigner le comment sans le pourquoi si d'une part on le dit clairement et si d'autre part ça reste l'exception.
• Elle ne permet pas de trouver le résultat de 0,45 x 0,7 qui est compris entre 0 et 1… Je pense que l'on peut différer ces cas et y revenir en fin d'année ou au collège avec la règle traditionnelle utilisant le nombre de chiffres.

[tiniouu]

C'était une vraie question, vieuxmatheux...

Avec le recul, on se rend compte que beaucoup de choses qu'on a apprises à l'école ne nous servent plus.

Je suis très forte en calcul mental (là où d'autres vont chercher la calculatrice, je le fais de tête...plus vite, encore hier aprèm pour acheter 2 livres...), et je pense qu'il est fondamental de maîtriser les additions, additions réitérées (hou la vilaine qui ne sait jamais 7x8 et 4x8 mais qui les recalcule plus vite que si elle les savait!!!), multiplication de nombres entiers, et surtout, surtout, avoir une très maîtrise de l'approximation et de l'ordre de grandeur...

Sérieusement, qui, à l'heure actuelle, pose encore une division? (Vraie question encore une fois...) Est-ce que quelqu'un ici a posé une division dans l'année qui vient de se passer, hormis à l'école? Je crois que je serais capable de poser une soustraction, en réfléchissant un peu...

Alors, la multiplication de décimaux.....

[vieuxmatheux]

J'ai bien compris que c'est une vraie question, mais je ne pense pas par exemple qu'on comprenne bien la division sans apprendre à les poser, même si l'utilité de les poser dans la vie courante est aujourd'hui nulle.

Pour moi ça signifie qu'il n'est pas nécessaire de travailler la virtuosité (par exemple, inutile de chercher à poser les divisions sans écrire les soustractions à l'intérieur) mais je crains qu'on perde en compréhension si le quotient de deux nombres n'est plus que ce qu'en dit la calculatrice.

[bab33]

Alors archi contre cette théorie du à quoi Ca sert dans la vraie vie

Si on va par là on arrête beaucoup de choses

Mais il y a une chose important c est La culture commune et le culture générale

Tout sert dzns la vie de tous les jours ne serait ce que plut tard quand ils aideront leurs enfants à faire leurs devoirs !!!

[Ekole]

Alors archi contre cette théorie du à quoi Ca sert dans la vraie vie

Si on va par là on arrête beaucoup de choses

Mais il y a une chose important c est La culture commune et le culture générale

Tout sert dzns la vie de tous les jours ne serait ce que plut tard quand ils aideront leurs enfants à faire leurs devoirs !!!

Je suis assez d'accord,

Il y a bien des raisons de vouloir faire marcher son intelligence et exercer son raisonnement sans que les retombées ne soient sonnantes et trébuchantes...

[tiniouu]

J'aurais tendance à dire qu'on comprend mieux le sens au travers de la résolution de pb et d'additions réitérées...Mais je n'ai jamais eu de CM!

Bab, d'accord pour culture commune et culture générale. Mais je pense qu'on pourrait appuyer sur certaines choses, comme un calcul mental bien performant, et moins sur d'autres.