Analyse erreur d'un élève sur la division

[astro52]

Bonjour,

Je dois analyser les erreurs de cet élève, je les constate bien mais je n'arrive pas à comprendre leurs origines puisque la technique opératoire de la division semble maitrisée.

Quelles remédiations possibles pour cet élève?

Merci

Bonjour,

Je pense qu'il y a d'abord une difficulté avec le principe de la technique (et pas seulement la maîtrise opérationnelle de l'ensemble).

Au début, il ne monte pas assez haut en s'arrêtant à 56 alors qu'il aurait dû s'assurer qu'on ne peut pas aller plus haut sans dépasser. Ensuite, il y a certes une erreur de calcul dans la soustraction, mais cette erreur n'empêche pas 16 d'être plus grand que 14. Cette anomalie (conséquence de la première), même minorée par l'erreur de calcul, aurait dû lui mettre la puce à l'oreille et l'amener à interrompre la procédure pour rechercher l'erreur. Mais au lieu de ça, il continue, quitte à bricoler face à l'impossibilité flagrante de poursuivre normalement la procédure (toujours à partir de la même cause). Et à nouveau, ça ne le conduit pas à faire marche arrière.

Au niveau ordre de grandeur, 460 représente plus de 78% du nombre, plus élevé, qu'il fallait trouver. Il pouvait donc apparaître comme cohérent en termes d'ordre de grandeur.

Comme remédiation j'envisagerais donc :

- La recherche du nombre le plus grand possible sans dépasser, donc s'assurer que le nombre supérieur, lui, dépasserait bien.

- Les signaux d'alerte d'une erreur antérieure : je ne peux jamais avoir un reste (intermédiaire ou final) supérieur ou égal au diviseur. Et prendre la décision de revenir en arrière le cas échéant.

- Dans un autre registre, lui demander d'où sort le 6 des dizaines (de 164/14), pour être sûr que ce n'est pas le chiffre qu'il faut "arracher" de 164 pour reconstituer le diviseur 14. Bricolage dont le degré de non-sens mathématique trahirait un soucis plus général en mathématiques.

[B i b]

Je ne suis pas vraiment d'accord sur la méthode de recherche de l'ordre de grandeur.

La réponse à la question "en 8 (milliers), combien de fois 14 ?" est le quotient de 8000 par 14, et non pas zéro (ni zéro millier).

Pour que la réponse soit 0 millier, il faudrait que la question soit "en huit milliers, combien de milliers de fois 14 ? "

Et la réponse à cette question se trouve précisément en pensant que 14x 1000 est plus grand que 8000. En 8 milliers, il n'y a pas un millier de fois 14.

Ça me parait bien plus compliqué que les encadrements.

Je vais essayer d’être plus clair.

Je reprends 8246 : 14, avec du matériel de numération. Il s’agit de distribuer équitablement 8 cubes-milliers, 2 plaques-centaines, 4 barres-dizaines et 6 cubes-unités dans 14 parts.

On cherche d’abord à distribuer les 8 cubes-milliers dans les 14 parts. On ne peut pas sinon le partage ne serait pas équitable. Mais le calcul lui est possible car pour 8 : 14 on a q = 0 et r = 8. Ce qui revient à 8 = (14 x 0) + 8 d’où le : « en 8, combien de fois 14 ? Réponse : 0. » C'est comme si on distribuait 0 millier dans chaque part et qu'il reste 8 milliers.

On procède donc à un échange 1 contre 10 : les 8 cubes-milliers sont remplacés par 80 plaques-centaines, auxquelles on ajoute les deux plaques-centaines existantes. On a 82 plaques-centaines en tout à diviser ou distribuer. Pour 82 : 14, le quotient ne sera pas nul. On le voit bien si on fait la distribution des plaques-centaines dans chaque part ou si on commence la table de 14. Comme 82 est un nombre de centaines, on aura bien un nombre de centaines au quotient d’où les trois chiffres.

Autres exemples :

523 : 6 ? En 5, combien de fois 6 ? Il y a zéro fois 6 dans le nombre 5. Donc en 52, combien de fois 6 ? Il y a plusieurs fois 6 dans 52. Comme c’est 52 dizaines, alors le premier chiffre du quotient sera celui des dizaines et on aura a fortiori deux chiffres au quotient.

213485 : 24 ? En 2, combien de fois 24 ? Il y a zéro fois 24 dans le nombre 2. Donc en 21, combien de fois 24 ? Il y a zéro fois 24 dans le nombre 21. En 213, combien de fois 24 ? Il y a plusieurs fois 24 dans le nombre 213. Comme c’est 213 milliers, alors le premier chiffre du quotient sera celui des milliers et on aura a fortiori quatre chiffres au quotient.

Pour moi, c’est plus simple et surtout bien plus rapide. Ça évite de surcharger la feuille de calculs annexes et de perdre ainsi certains élèves.

[vieuxmatheux]

Je pense que tu fais un mélange entre deux choses.

Si le raisonnement qui est derrière la division est le partage de 8246 en 14 parts égales, alors certes il n'est pas possible de mettre un millier dans chacune des parts, aucun problème.

On change alors de point de vue sur le nombre, et au lieu de regarder 8246 comme 8 milliers et quelques broutilles, on le regarde comme 82 centaines et des poussières. Peut on mettre des centaines dans chaque part.

Tout ça marche très bien.

Malheureusement, ce n'est absolument pas la question qu'on se pose quand on dit "en 8( milliers) combien de fois 14 ?" ça n'évoque pas du tout un partage.

C'est même à mon avis un des principaux inconvénients de l'estimation de l'ordre de grandeur s'appuyant sur le partage (ce que fait par exemple brissiaud dans "j'apprends les maths") : ça n'est compatible qu'avec la signification "partage" de la division, et si on veut le dire dans les termes d'un problème de groupement (combien de fois ?) ça perd tout son sens.

Au contraire, les encadrements sont compatibles avec les deux significations : que tu penses à 14 fois 1000 (si on partage en 14 parts) ou à 1000 fois 14 (si on fait des paquets de 14 trucs), ça ne pose pas de problème.

[B i b]

D'abord, je ne veux pas contester l’encadrement comme méthode pour trouver le nombre de chiffres au quotient. Si l’élève sait l’utiliser, qu’il continue avec. Ça peut très bien fonctionner même si c'est quand même un peu plus long.

Ensuite, je comprends bien ce que tu veux dire mais ce mélange on le fait tous il me semble quand on analyse l’algorithme de la division posée, quel que soit le type de problème.

Premier problème : Combien d’étapes de 14 km pour un total de 8246 km ? Il s’agit bien d’une situation « combien de fois a dans b ? ». On pose 8246 : 14. On cherche l’ordre de grandeur du quotient puis on calcule : « dans 82, combien de fois 14 ? 5 x 14 = 70, je pose 5 au quotient ; je calcule 82 – 70, il reste 12 ; je descends le 4 ; dans 124, combien de fois 14 ? ; etc. » Là, la formulation utilsée est en adéquation avec le type de problème.

Deuxième problème : Quel est le kilométrage moyen pour 8246 km en 14 étapes ? Il s’agit d’une situation de partage / distribution. On pose 8246 : 14. On cherche l’ordre de grandeur du quotient puis on calcule : « dans 82, combien de fois 14, etc. » Que dit-on là ? La même chose que pour le premier problème, bien que ce ne soit pas une situation « combien de fois a dans b ? »...

Que fait-on alors ?

[B i b]

Tiens ? Le sujet initial a disparu...

[Mel(yMélo)]

ah oui c'est bizarre !

[André Jorge]

La personne a édité son message. Je ne vois pas ce qui pose problème :

Bonjour,

Je dois analyser les erreurs de cet élève, je les constate bien mais je n'arrive pas à comprendre leurs origines puisque la technique opératoire de la division semble maitrisée.
Quelles remédiations possibles pour cet élève?

Merci

J'aurais aimé récupérer l'image de la division et je vais donc la contacter. (sinon, j'ai déjà ré-écris la division de mémoire)

Je ne peux pas la récupérer via Google car j'ai désactivé la mise en cache du site et le cache de mon navigateur ne contient pas l'image... (sous Firefox, il y a une extension qui permet de consulter le cache : Cache Viewer).

[vieuxmatheux]

La difficulté à tenir un discours cohérent pour la division est réelle… ce n'est pas pour rien que c'est une opération difficile.

Il me semble qu'il y a (au moins) deux solutions :

Première version : travailler sur le fait que l'égalité (23 x 7) + 5 = 166 traduit à la fois le problème de groupement et le problème de partage.

Avec 166 trucs, je peux faire 23 groupes de 7 trucs (et il m'en reste 5)

Si je partage 166 trucs entre 7 personnes, chacun aura 23 trucs (et il en restera 5)

La conviction que c'est toujours comme ça, que les deux problèmes se traduisent par le même calcul, peut justifier qu'on utilise toujours le discours lié au partage quand on pose la division.

Autrement dit, même si je me demande combien de groupes de 7 trucs je peux faire, je décris l'opération en partageant les centaines (impossible) puis les dizaines.

Une autre version consiste à utiliser une technique compatible avec les deux discours, je fais une proposition dans ce sens en bas de cette page :

http://primaths.fr/outils%20cycle%203/divisionposee.html

[B i b]

Je trouve ton document très intéressant. J’émettrais des réserves cependant. Pour nous adultes qui sommes capables d’analyser les différentes étapes de la technique opératoire, ça prend tout son sens. Mais quid des élèves ?

D'abord, pourquoi se passer des phases magiques ? Les gamins aiment bien les « trucs » magiques. Je vois peu d’erreurs sur ces phases. Et puis ces « trucs » sont justement là pour alléger la succession de toutes les étapes de la technique et gagner en efficacité.

Ensuite, dans la deuxième version de la division posée de ton document (que l'on cherche la valeur d'une part ou le nombre de parts), le discours est pertinent dans les deux cas mais il est très long. Combien d'élèves seront perdus pour raconter la division ?

Enfin, si les méthodes décrites dans les deux versions mettent du sens sur ce que l'on fait, en a-t-on réellement besoin ? Au départ oui, dans les premières séances, on décortique la technique avec des situations problèmes différentes pour mettre du sens sur ce que représentent les nombres, sur la démarche, etc. Les élèves comprennent (ou pas…) mais lorsqu’on passe à un entraînement systématique décroché de la résolution de problèmes pour qu’ils acquièrent la technique, qu’en reste-t-il ? Au final, l'élève pose sa division et exécute le programme mécaniquement sans se poser de questions.

Pour moi, la technique ne doit pas prendre le pas sur la situation, elle doit être efficace donc rapide à exécuter, avec des formulations identiques que ce soit un partage ou la recherche du nombre de parts (et c’est un peut-être un tort). D’ailleurs, je remarque qu’après un entraînement régulier avec plusieurs séances à effectuer des divisions posées, les erreurs ne reposent pas ou elles reposent peu sur l’algorithme. Elles sont surtout dues à une méconnaissance des tables et aux erreurs de soustraction. Et quand il s’agit de résoudre des problèmes, les élèves ont bien plus de difficultés à trouver l’opération induite. Il me semble plus essentiel de travailler le sens de la situation dans un problème pour l’amener à comprendre quelle opération est en jeu plutôt que de travailler sur le sens de l’opération elle-même.

Ceci dit, tes remarques me font réfléchir sur les formulations à enseigner pour décrire le déroulement de la technique. Ce n’est pas encore trop tard pour moi, je peux encore évoluer !

[vieuxmatheux]

Tout à fait d'accord avec le fait qu'on peut trouver des raccourcis et utiliser des phases "magiques" pour accélérer le processus, mais à mon avis seulement après avoir installé une technique que l'on comprends.

On peut par exemple remarquer que dans la division de 6534 par 27, si au lieu soustraire 200 x 27 à 6534 on soustrait 2 x 27 à 65, ça ne changera rien au résultat obtenu… mais c'est plus tard.

Je crois aussi qu'une technique comprise participe au travail sur la résolution de problème : si le discours support de la technique rappelle qu'on effectue un partage ou qu'on cherche combien de groupes on peut faire, il est plus facile de le mobiliser dans les cas pertinents.

D'autre part, aujourd'hui pratiquement personne ne pose de division à la main, le critère de vitesse et d'efficacité me semble donc relativement mineur. Si on apprend encore à les poser ce n'est pas pour être efficace mais parce sans cet apprentissage technique il est difficile (impossible ?) de comprendre vraiment le sens et l'intérêt de la division.

[B i b]

Je suis d'accord sur l'intérêt d'expliquer les techniques opératoires pour les comprendre, mais un temps seulement. Parce qu'ensuite en résolution de problèmes, quand l'élève se retrouve seul, il a oublié tout ça ou ce n'est plus conscient de toute façon. Il a automatisé la technique et il l'applique "bêtement". Toute la difficulté est de l'amener à réfléchir en amont pour choisir l'opération induite. Quand l'élève ne comprend pas la situation (recherche de la différence, situation de partage, configuration rectangulaire, etc...) et qu'on l'amène par la manipulation, le discours ou le schéma à la percevoir, il ne se trompe pas d'opération en général. En gros, il verbalise : "écart = différence = soustraction posée", "partage = division posée", etc. Ensuite, l'élève résout le problème en appliquant mécaniquement l'opération. Je perçois cela comme un conditionnement (et cela vient peut-être de ma façon d'enseigner), du fait des situations vues précédemment. Même les bons élèves font ces raccourcis automatiquement sans se référer au disours de la technique. Mes réflexions partent d'observations en classe mais je ne dis pas que j'ai absolument raison.

Merci pour ces échanges en tout cas, cela interroge mes pratiques.