Entrainement exos de maths.

[MlleKhadidja]

Bonsoir,

Je tente de m'entraîner pour le CRPE de maths et je ne comprends aucun exercice.

Pouvez-vous m'aider ?

[Kareve]

Un indice pour le calcul de F : (a/b) / (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d) / (b x c)

Vas y par petites étapes pour simplifier la très grosse fraction d'abord 3 / (2+1/3) puis numérateur puis dénominateur jusqu'à arriver à une fraction de type X / Y. Après ca devrait être relativement simple.

Bon courage !

[MlleKhadidja]

J'ai trouvé - 4387 / 6258.

C'est bon ?

[vieuxmatheux]

Je ne crois pas, non… mais je ne suis pas infaillible.

Quelques indications :

si tu observes le calcul, il est composé de quatre morceaux séparés par des signes + ou -

1/6 moins gros bloc moins 1/2 plus 1/3

On peut changer l'ordre de ces blocs (on les appelle des termes si on veut faire savant) à condition que chacun conserve son signe.

Par exemple, pour calculer 157 + 39 - 157, on va plutôt choisir l'ordre 157 -157 + 39. Le résultat est le même, mais l'effort à fournir n'est pas le même.

Calcule donc plutôt 1/6 moins 1/2 plus 1/3 moins gros bloc

tu t'apercevras alors que les trois premiers termes fournissent un résultat sympathique, reste à se concentrer sur gros bloc

Pour ne pas écrire trop d'étapes, tu peux envisager de simplifier simultanément à plusieurs endroits :

Le numérateur 1/2 - 10/4

Le dénominateur qui vaut 9 - 1/3 - 7/6 + petit bloc en calculant la valeur de 9 - 1/3 - 7/6 tout en simplifiant petit bloc

Pour cette simplification on peut soit calculer d'abord 2 + 1/3 puis utiliser le fait que pour diviser par une fraction on peut multiplier par l'inverse de cette fraction (par exemple 5 divisé par 3/4 vaut 5 multiplié par 4/3)

On peut aussi regarder petit bloc comme une fraction et lui appliquer la règle suivante : si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, ça ne change pas sa valeur.

Ce qui nous ennuie dans petit bloc, c'est la présence de la fraction 1/3 au dénominateur, d'où l'idée d'appliquer la règle précédente en multipliant le numérateur et le dénominateur de petit bloc par 3 puisque 3 fois 1/3 c'est 1.

Vu comme ça on obtient en une seule étape que petit bloc vaut 9/7

évidemment, ça n'est pas terminé, mais ça se décante.

Si je peux me permettre un avis sur l'ensemble de la fiche… c'est bien technique et pas vraiment dans l'esprit du CRPE… et en tant que devoir maison numéro 1, ça me semble plutôt de nature à écœurer les étudiants peu matheux qu'à les aider.

[Zacchita]

Aaaahhhhh quelle horreur! On est loin de ce que je trouve dans les Hatier!

En m'y collant je trouve 20/123 en résultat. Et j'avoue manquer de courage pour la suite... :-(

Bonne soirée quand meme!

[schwa]

Ouf ça ressemble à ce qu'on faisait en terminale ! Qund j'ai passé le concours on n'allait pas plus loin que le niveau 3me me semble-t-il !

ça remonte à loin mais je vais essayer de m'y mettre ça me manque les maths !

c'est pour quand ton DM ?

[schwa]

Bon je ne suis pas sure des résultats mais j'ai tout fait à part le 7me (et le 1 du 5 car je n'ai pas de calculatrice avec moi !).

Où en es-tu de ton côté?

Pour le premier je trouve aussi 20/123.

Les exercices 4 et 5 sont faciles je pense.

Le 3 et le 6 un peu similaires. Il faut tout mettre sur même dénominateur et on en déduit toutes les valeurs possibles.

Pour le 2, un indice, on connait x, on connait 10x, alors il ne reste plus qu'à calculer 10x-x. On peut en déduire x (et simplifier la fraction à partir de là).

Par contre je ne me rappelle plus comment prouver que c'est un rationnel, surtout avant de transformer en fraction.

Pour le 7, je ne sais pas pour la première question. La seconde est plus facile car on peut obtenir un 10 au dénominateur en jouant un peu avec les fractions (par exemple, si on a 2^3 x 3² = 2² x 2 x 3² = (2 x 3)² x 2 ... Donc là on prenant alpha > beta (par exemple) on a 2^alpha x 2^beta = 2^(al-be)x2^bex5^be=2^(al-be)x(2x5)^be=2^(al-be)x10^be. Mais je ne me rappelle si ça suffit pour prouver que c'est décimal. A priori oui puisqu'on a une puissance de 10 au dénominateur...

N'hésite pas si tu as des questions (et n'hésite pas non plus à partager les prochains devoirs ! ^^)

[vieuxmatheux]

Un nombre rationnel, c'est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction (c'est à dire avec un entier au numérateur et au dénominateur).

Un petit peu d'histoire pour s'en souvenir : pour les grecs anciens le rapport entre deux grandeurs était forcément un entier ou une fraction, le rapport entre la diagonale d'un carré et le côté du même carré (racine de 2) a été le premier rapport dont les mathématiciens grecs ont prouvé qu'il était impossible de l'écrire sous forme de fraction… ce qui défiait la raison, d'où le terme irrationnel et par opposition le terme "rationnels" choisi plus tard pour désigner les nombres pouvant s'écrire comme une fraction.

Pour l'exercice 7… particulièrement peu dans l'esprit du concours (spécialement à cause des notations employées) il ne suffit évidemment pas que le dénominateur d'une fraction soit un multiple de 10 pour que ce soit un décimal. Il faut que cette fraction puisse s'écrire avec un dénominateur qui soit une puissance de 10, ce qui est beaucoup plus exigeant.

Donc, si la fraction est décimal, elle peut s'écrire sous la forme x / 10^a mais10 c'est 2 x 5 donc 10^a c'est 2x5 x 2x5 x 2x5 x … x 2x5

en réorganisant l'ordre des multiplications, c'est aussi 2x2x2…x2 X 5x5x5 … 5 c'est à dire 2^a x 5^a ce qui répond à la question 1

Quant à la question 2 le principe est très simple sur un exemple : considérons la fraction x /( 2⁷ x 5⁴) c'est à dire x/(2x2x2x2x2x2x2 X 5x5x5x5)

il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 5x5x5, ce qui ne change pas sa valeur, pour obtenir au dénominateur un produit de 7 facteurs 2 et 7 facteurs 5 ce qui (en faisant la même transformation que dans la question précédente mais dans l'ordre contraire) vaut 10⁷

Pour le rédiger de façon générale comme c'est demandé, il faut distinguer trois cas :

alpha et bêta sont égaux… alors le dénominateur est déjà une puissance de 10.

alpha est plus petit que bêta…alors on multiplie par 2 numérateur et dénominateur autant de fois que nécessaire pour obtenir autant de 2 que de 5.

alpha est plus grand que bêta… on fait la même chose en multipliant par 5 et non par 2

Indigeste et probablement inutile. De toute façon, même si une question de ce genre était posée au concours, ce serait marginal, autant laisser tomber, en revanche le même travail sur des exemple est pertinent : 21/3000 et 153/256 sont-ils des nombres décimaux ?

[pinpindesbois]

Ah bah, 153/256 arrive a une question que je me pose...

256 se décompose qu'en puissance de 2. Du coup, décimal ou pas ? La formule c'est 2*pX5*q (*= puissance) mais on a pas de facteur de 5, sauf si on considère 5*0 = 1. C'est ça ?

(21/3000 pas décimal).

[vieuxmatheux]

Si on se réfère au raisonnement que je propose plutôt qu'aux formules, le fait qu'il n'y ait que des 2 et pas de 5 ne pose aucun problème : en multipliant par 5 autant de fois qu'il y a de 2, on obtient des 10, le nombre est donc décimal puis qu'on peut l'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10

Pour 21/3000, c'est encore plus simple, en simplifiant la fraction on obtient 7/1000, il n'y a rien de plus décimal.

Un nombre est décimal s'il PEUT s'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10… mais rien n'oblige à le donner sous cette forme la.

[Zacchita]

Merci vieuxgrincheux pour ces explications.

Pour moi 21/3000 est un décimal car on peut simplifier la fraction 7/1000 soit un nombre décimal a dénominateur puissance de 10 (10^3)

En revanche 153/256. = 3*3*17/2^7 pas de simplification possible pour obtenir un dénominateur puissance de 10 donc non décimal.

Quant au nombre rationnel, il se caractérise par une répétition des chiffres le constituant après la virgule; en effet si on pose la fraction, on obtient un reste qui se répète donc qui divisé se répète dans le résultat.

Je ne sais pas si mon explication est correcte?

[vieuxmatheux]

et si 153/256 est décimal puisque c'est 153 / 2x2x2x2x2x2x2x2

en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre bien choisi (5 à la puissance 7) on obtient

153 x 5⁷ / (2x5 x 2x5 x 2x5 x 2x5 x 2x5 x 2x5 x 2x5 x 2x5)

Le dénominateur vaut alors 10⁷ ce qui montre que le nombre est décimal.

Au passage qu'ai-je fait pour mériter le pseudo de vieuxgrincheux ?