calculs avec les bases

[sevmoa]

Bonsoir,

Voici un exercice que je ne comprends pas :

en base10, soit n=1+3+3²+3^4+3^6

Comment s'écrit n en base 3? dans cette base, prendre comme chiffres 0, 1 et 2.

J'ai trouvé n= 823 en base10

Or, le livre Vuibert me donne en corrigé n=1+3+3²+3^4+3^6 = 144

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment ils trouvent 144?

merci

[Zacchita]

En base 3 je l'ecrirai n=1010111

Soit de la gauche vers la droite

1 * 3^6

0 * 3^5

1 * 3^4

0 * 3^3

1 * 3^2

1 * 3^1 = 3

1 * 3^0= 1

Quant au résultat en base 10 je pense que c'est une coquille, je trouve aussi 823.

Bon courage!

[vieuxmatheux]

Le principe de la base 10, c'est que seul le chiffre de droite compte des unités, tous les autres chiffres comptent des groupes plus ou moins grands :

 

435 c'est 4 paquets de 100, 3 paquets de 10 et 5 unités.

Les paquets ne sont pas faits n'importe comment : dès qu'on a dix unités, ou bien 10 paquets d'une même taille, on les regroupe en un paquet de taille supérieur.

 

Les groupements utilisés valent donc successivement 10, 100, 1000, 10 000, …  ce qu'on peut écrire si on préfère 10, 10², 10³, 10⁴…

 

Dans les bases autre que 10, on effectue de la même façon des groupements, mais par 3 si on est en base 3, par 4 si on est en base 4…

 

En base trois, il y a donc des groupes de 3,  des groupes de 3x3,  des groupes de 3X3X3…

Ceci est très lié au fait qu'en base 3 on utilise seulement les chiffres 0,1 et 2 : dès qu'il y a trois paquets d'une même taille on les regroupe pour faire un paquet de la taille au dessus… on n'a pas besoin d'écrire le chiffre 3.

 

L'écriture fournie du nombre n donne presque tout de suite son écriture en base 3 :

 

Il y a :

• 1 (une unité)  donc le chiffre de droite sera 1 (tous les autres morceaux sont  des multiples de 3), le nombre se termine par 1.
• 3, c'est à dire 1 fois trois, le deuxième chiffre en partant de la droite est donc un 1 (il y a une "troisaine"), le nombre se termine par 11.
• 3², c'est à dire un paquet de 3x3, encore un chiffre 1, le nombre se termine par 111.
• en revanche il n'y a pas de paquet de la taille immédiatement supérieure (3x3x3) on met donc un 0 pour signaler qu'il n'y a pas de paquet à ce rang, le nombre se termine par 0111.
• En continuant ainsi, on trouve que le nombre s'écrit 1010111.

 

Une façon un peu plus mécanique de le voir est de réécrire le nombre en utilisant les puissances de 3, mais en commençant par les grandes puissances et en écrivant tous les rangs, même ceux où il n'y a rien, ce qui donne :

 

n = 1x3⁶  +  0x3⁵  +  1x3⁴  +  0x3³  +  1x3²  +  1x3  +  1

Ce que certains préfèrent écrire

n = 1x3⁶  +  0x3⁵  +  1x3⁴  +  0x3³  +  1x3²  +  1x3¹  +  1x3⁰ même si la fin est plus difficile à lire mais parce que ça montre bien le caractère systématique de l'écriture.

Une fois comme ça, les chiffres en rouge donnent l'écriture du nombre en base 3.

Détail supplémentaire, qui n'est pas indispensable mais aide à éviter les contresens : quand un nombre est écrit dans une base autre que 10, on place souvent un trait au dessus qui a juste pour fonction d'alerter 201 (désolé, je ne sais pas comment mettre un trait au dessus) en base 3 vaut 2 paquets de 9 plus 1 c'est à dire 19, il ne faut surtout pas le lire "deux-cent-un" au risque d'une perte de sens total. Si on doit passer à l'oral, on va dire quelque chose du genre "le nombre qui s'écrit deux, zéro, un, en base 3".

 

Dernière remarque :  si vraiment le livre chez Vuibert donne comme réponse 144, que ce n'est pas une étourderie de ta part (erreur sur le numéro d'exercice par exemple) utilise le pour allumer ton feu de cheminée et va t'en procurer un autre. Par exemple celui de Mante et Charnay chez Hatier si tu as des bons restes des maths niveau 3ème-seconde, ou alors le mien (Yves Thomas, chez Ellipses) si les maths de 3ème te posent des problèmes.

 

PS Zachita m'a devancé de peu, en beaucoup moins bavard. un tout petit détail  1 x 3⁰, ça vaut 1 et non zéro, étourderie qui selon moi justifie qu'on utilise plutôt la première des deux écritures que je propose avec les chiffres rouges… c'est plus simple.

[Zacchita]

Oups! Encore une étourderie, décidément :-)

C'est corrigé!

Merci vieux matheux

[sevmoa]

merci beaucoup à tous les 2 d'avoir passé du temps pour m'expliquer. C'est vraiment gentil.

C'est donc bien une coquille dans le livre. J'ai laissé un message à l'éditeur. On verra s'ils me répondent.

merci et bonne soirée

[vieuxmatheux]

J'avais mal lu ton intervention de départ, je croyais qu'ils proposaient 144 comme écriture en base 3 ce qui serait très fort vu que la base 3 n'utilise que 0 1 et 2.

Comme écriture décimale c'est évidemment faux mais je suis moins sévère, malgré toutes les relectures il reste toujours quelques bourdes dans un livre… si c'est rare c'est normal.

[sevmoa]

Bonsoir, les éditions m'ont répondu que c'était bien une erreur et qu'ils corrigeraient à la prochaine impression.