Divisibilité par 11

[Balanina05]

Bonsoir

Mon zhom a un exercice de maths et je cale sur la démo.

Soit n un entier tel que n= CDUcdu où C,D,U, c, d, u  sont respectivement les chiffres des centaines de 1000, des dizaines de millions, des milliers, des centaines des dizaines et des unités.  Montrer que n est divisible par 11 si seulement si CDU-cdu  est divisible par 11.

 

Je fais comme calcul:

n= 100 000c + 10 000d + 1000u + 100c + 10d + u

n= 100 100c + 10 010d + 1001u

n= 11 ( 9100c + 910d + 91u)

Je ne sais plus pourquoi il faut montrer que CDU-cdu soit divisible par 11.

Help me.

[Kokoyaya]

Une piste ? 

 

[Dominique]

Il y a 13 heures, Balanina05 a dit :

.../...

n= 100 000c + 10 000d + 1000u + 100c + 10d + u

.../...

On ne peut pas écrire ça car dans l'énoncé il y a en fait six variables et non trois. Donc  n = 100 000C + 10 000D + 1000U + 100c +10d + u (ne pas confonde les lettres en majuscules et les lettres en minuscules).

Indication pour résoudre l'exercice :

Essayer d'écrire n sous la forme 1000 (100C + 10D + U -100c - 10d - u) + 11×k où k est un entier.

[vieuxmatheux]

La remarque de Dominique est essentielle.

De plus, la notation utilisée dans l'énoncé n'est pas aidante : en général en maths si des lettres désignent des nombres, la succession de deux lettres sans signe entre les deux désigne leur produit, ici ce n'est pas le cas, il faut interpréter la succession de lettre comme une succession de chiffres : si n : 345289, CDU désigne 345 et cdu désigne 289, rien ne l'interdit et c'est fréquent dans ce contexte mais il vaudrait mieux l'expliciter.

 

Parmi les façons possibles de traiter ce genre d'exercice, on peut s'appuyer sur le fait que si on ajoute ou retranche  un multiple de 11 à un nombre, le résultat est multiple de 11 si le nombre de départ l'est, il n'est pas multiple de 11 si le nombre de départ ne l'est pas. (facile à prouver avec un tout petit peu d'algèbre, ou alors il suffit de penser que les multiples de 11 vont de 11 en 11).

Choisissons d'écrire le nombre n sous la forme 1000 (CDU)  +  (cdu)  (cette décomposition est suggérée par l'énoncé qui demande de prouver quelque chose en rapport avec les nombres CDU et cdu… il n'est donc pas absurde de les faire apparaître).

Nous pouvons alors soustraire ou ajouter des multiples de 11 jusqu'à nous rapprocher de la forme demandée.

Par exemple 990 (CDU) est multiple de 11, en le soustrayant à la forme initiale on conclut que :

n est multiple de 11 si et seulement si 10 (CDU)  +  (cdu) est multiple de 11.

On n'est pas si loin du résultat demandé, à vous de conclure

[Balanina05]

Merci à vous 3.

On va retravailler dessus.