Introduction de la notion d'aire

[vieuxmatheux]

J'ai toujours été géné par les propositions d'introduction de l'aire dans les différents manuels (et pas seulement dans les mauvais). En général, soit on part beaucoup trop vite dans les formules de calcul n'ayant pas de sens, soit on se gargarise d'expressions comme "c'est l'étendue de la surface"… qui ne sont compréhensibles que par ceux qui savent par avance ce dont on parle (et encore).

Je viens de compléter sur mon petit site un article sur la question par une vidéo.

On peut les trouver sur cette page : 

Primatheux, cycle 3, situations non numériques

ou directement la vidéo ici :

introduction de l'idée d'aire

Attention, c'est un document destiné avant tout aux enseignants pour qu'ils y puisent quelques idées, quelques formulations. Il est bien sur possible de le montrer aux élèves, par exemple dans un moment de synthèse, mais il ne faudrait surtout pas croire que ce film peut remplacer le travail d'explicitation que vous faites avec vos élèves, ni qu'il est suffisant : le déroulement est beaucoup trop rapide pour que des élèves assimilent tout ce qui est dit en le visionnant s'ils ne connaissent pas encore la question.

Je suis preneur de toute remarque permettant une amélioration de ce document.

Modifié 9 septembre 2023 par vieuxmatheux

[Goëllette]

Merci, très intéressant !

[valdeloise]

Merci pour tes documents toujours salvateurs pour ma part, vieuxmatheux.

J'ai une méthode qui ressemble à la tienne:

demander de tracer un quadrillage rectangulaire de 3cm sur 5cm, compter les cases, 15 cases. On parle de 15 centimètres "carrés" car on quadrille la surface en carrés.

s'entraîner à compter les cases sur des quadrillages de formes différentes et à utiliser le terme centimètres carrés.

revenir au quadrillage 5 x 3, effacer les cases, faire rappeler les nombres de cases en largeur et en longueur, écrire 5 et 3 sur les longueur et largeur du rectangle, rappeler combien font 5 x 3, introduire la formule de l'aire du rectangle L x l

revenir sur les figures d'entrainement cases effacées, (des formes composées de plusieurs rectangles), et lancer la situation-problème "comment pourrait-on faire pour retrouver le nombre de centimètres carré (l'aire) sur ces figures."

Qu'en penses-tu?

[vieuxmatheux]

C'est assez proche de ce que j'envisage de mettre dans la deuxième vidéo en cours de préparation… après, ça dépend du rythme qu'on y met.

Il me semble intéressant de ne pas se limiter au rectangle et d'utiliser des idées comme "quand on déplace un morceau, l'aire ne change pas" ou "une figure qui tient complètemment dans une autre figure a une aire plus petite"

Les étapes que tu décris me semblent pertinentes, sauf si elles sont effectuées un peu rapidement. Le risque est alors que les élèves retiennent essentiellement la formule, ce qui entraine toutes les difficultés connues de confusion avec le périmètre (alors que si on repense à chaque fois à ce dont on parle, il n'y a aucune raison de les confondre).

On peut aussi envisager d'utiliser ton approche, même un peu vite, et de compléter par une des deux situations (à mon avis plutôt la première) de l'article "Aire et Périmètre" qui se trouve sur la même page que la petite vidéo : Primatheux, cycle 3, situations non numériques

Comme on travaille sans utiliser du tout les nombres, ça permet de se dégager des formules.

[vieuxmatheux]

Il y a 11 heures, valdeloise a dit :

revenir au quadrillage 5 x 3, effacer les cases, faire rappeler les nombres de cases en largeur et en longueur, écrire 5 et 3 sur les longueur et largeur du rectangle, rappeler combien font 5 x 3, introduire la formule de l'aire du rectangle L x l

À la relecture, il me semble que cette étape pose problème parce qu'elle ne montre pas vraiment pourquoi il y a une multiplication (ou alors tu as simplement décrit un peu trop vite).

Dans un rectangle de 5 sur 3, il y a trois lignes identiques, de 5 cases chacune, ou 5 lignes de 3 cases, c'est pour cela que le nombre de cases est 5 x 3 et il me semble que c'est l'idée essentielle quand on passe au calcul des aires

[valdeloise]

Il y a 6 heures, vieuxmatheux a dit :

À la relecture, il me semble que cette étape pose problème parce qu'elle ne montre pas vraiment pourquoi il y a une multiplication (ou alors tu as simplement décrit un peu trop vite).

En effet, j'ai résumé, mais nous utilisons " trois lignes de cinq cases, soit trois fois cinq ; cinq colonnes de trois cases, soit cinq fois trois" (avec force démonstration, manipulation...). Les élèves sont familiers de cette étape car c'est un procédé que j'utilise déjà lors de la découverte de la multiplication en CE2.

[Argon]

Ca me semble être une approche efficace, et la "confusion" entre l'aire et sa mesure ne prête pas vraiment à conséquence au primaire.

Son seul défaut, pour moi, est de rester strictement 2D, au risque d'introduire un implicite restreignant la définition de l'aire à la géométrie plane, où elle rejoint celle de superficie. Mais il serait facile d'ajouter un exemple de pavage 3D, par exemple avec une feuille pliée en 2.

[vieuxmatheux]

Sur le choix de définir l'aire comme ce qui est en réalité la mesure de l'aire (le cm2 étant choisi comme unité) je n'ai guère de doute.

Certes, pour les longueurs, on commence par les comparer (telle baguette est plus longue que telle autre) bien avant de passer à la mesure, ce qui est très bien, mais je n'ai trouvé aucune façon suffisamment simple à mon gout de procéder de façon analogue pour les aires : dans bien des cas, si on veut comparer deux surfaces (du point de vue de l'aire) aucune des deux ne recouvre entièrement l'autre, il faut procéder à des déformations valides (déplacer des morceaux)… mais comment justifier que ces déformations sont valides avant même de savoir ce qu'on compare ?

Ta question sur la géométrie plane mérite d'y réfléchir. A priori, il ne me semble pas que ce soit très grave : pour les longueurs, on commence bien par comparer puis mesurer des baguettes, des segments, bref des objets n'ayant qu'une dimension et je n'ai pas l'impression que ça pose des difficultés quand on a à envisager la longueur de lignes brisées ou courbes situées dans un espace à 2 ou 3 dimensions. En tout cas je n'ai jamais constaté moi même de difficultés liées à ça, et je ne me souviens pas d'avoir lu quoi que ce soit à ce propos (mais avec l'âge, la mémoire…)

Par ailleurs je pense que s'il y a un problème c'est plutôt pour les surfaces courbes que pour les surfaces composées de plusieurs parties planes…

Si on reprend l'analogie avec l'introduction des mesures de longueur, on considère comme allant de soi que les unités "cm" peuvent se courber tout en conservant la même longueur. Mais, d'un point de vue mathématique, c'est différent pour les surfaces : on ne peut pas recouvrir une sphère avec des carrés, même en les tordant alors que c'est possible pour des cylindres par exemple. je ne suis pas certain que ce soit une bonne idée d'évoquer ça en primaire surtout quand l'idée d'aire n'est pas encore installée.

En bref, je suis plutôt tenté de ne rien changer mais ta question me titille quand même et je vais continuer à y réfléchir.

Merci.

[Mercure732]

Je ne vois pas de difficultés non plus, en leur expliquant simplement quand le cas se présente.

Pour moi la difficulté est plutôt l'association figure 3D et volume rencontré chez les élèves en difficultés (calculer un volume quand on demande l'aire d'une face, par ex on présente une pièce cubique, on demande l'aire d'un mur, beaucoup d'élèves calcule un volume simplement parce qu'ils ont 3 mesures...)

[vieuxmatheux]

Il y a 9 heures, Mercure732 a dit :

Pour moi la difficulté est plutôt l'association figure 3D et volume rencontré chez les élèves en difficultés

Je pense que cette difficulté est liée pour partie au fait qu'on travaille peu dans les classes avec de vrais solides mais le plus souvent avec des dessins de solides (peut-être parce qu'il est difficile d'inclure des solides dans les manuels).

Une autre difficulté dans l'espace est qu'une ligne fermée ne limite pas une seule surface (par exemple le même cercle est le bord d'un disque, mais aussi celui d'une demi-sphère et de beaucoup d'autres surfaces )… ce qui nécessite de prendre des précautions avec l'idée de recouvrement ( une figure qui en recouvre entièrement une autre a une aire plus grande).

Je crois vraiment que je ne vais rien changer et m'en tenir, pour l'introduction de l'aire, aux figures planes.

 

[vieuxmatheux]

La suite est en ligne : le calcul de l'aire d'un rectangle, toujours sur cette page :

Primatheux, cycle 3, situations non numériques

Je sais, la page est un peu touffue, il faut bien regarder pour trouver le lien 🙂

 Mise à jour : je viens enfin de comprendre comment mettre ici un lien direct vers la  vidéo, et non vers la page du site.

Le voici : 

calcul de l'aire d'un rectangle

et du coup, profitant de ma science toute fraiche, je mets aussi le lien direct vers la vidéo sur l'introduction de l'aire :

introduction de l'idée d'aire

 

À venir : le calcul de l'aire d'un triangle.

 

Modifié 9 septembre 2023 par vieuxmatheux

[vieuxmatheux]

La suite, proposant des formulations pour expliquer le calcul de l'aire d'un triangle est en ligne sur cette page :

Primatheux, cycle 3, situations non numériques

Lien direct pour télécharger la vidéo : Aire du triangle