Problèmes et schémas en barres dès le CP

[vieuxmatheux]

J'ai déjà dit tout le mal que je pensais de l'introduction trop précoce des schémas en barre, surtout sous une forme trop standardisée.

Mais comme il ne sert à rien de se battre contre des moulins à vent et que, par ailleurs, les schémas en barre peuvent avoir une réelle utilité plus tard dans la scolarité, je me suis demandé s'il était possible de s'en servir en CP ou CE1 d'une façon qui ne soit pas un pur mécanisme.

Les schémas en barre reposant sur la proportionnallité entre la mesure de longueur des barres et les nombres qu'elles représentent, ça n'a rien d'évident de les expliquer à des élèves qui n'ont aucune idée de ce qu'est la proportionnalité et une idée pas encore très solide de ce qu'est la mesure de longueur.

Voici donc une première tentative : ça pourrait être ce que dit un enseignant en résolvant lui même un problème devant ses élèves de fin de CP ou début de CE1.

Je remercie par avance toutes celles et tous ceux qui voudront bien m'aider à améliorer ce travail par leurs remarques.

récit d'un problème en CP2.pdf

Modifié 25 novembre 2023 par vieuxmatheux
corrections mineures du pdf

[agora]

Peut être utiliser ces barres en numération ? Une barre de 16=une barre de 10et une barre de 6, puis tracer le contour de ces barres ...

C'est ce que fait ma collègue, à voir si ça portera ses fruits

[vieuxmatheux]

Je ne comprends pas bien ce que ça change de tracer le contour.

[Lolita]

Il me semble (je ne suis pas du tout du tout matheuse ) qu'il serait intéressant de faire précéder cette représentation par :
- de nombreux problèmes oraux / collectifs / ardoise, du type "La boite jaune" d'ERMEL (même s'il parait que ce n'est plus à la mode (http://blogs17.ac-poitiers.fr/circo-lrs/files/2012/04/séquence-pbs-additifs-et-soustractifs-début-CP-Catherine-Chabot.pdf pour les jeunes qui ne connaissent pas.)
- utiliser des "sacs" ou des enveloppes ou ??? avec les billes ou les jetons : cela permettrait de passer au concret (enveloppe) à la schématisation que tu proposes. C'est ce que je faisais avec Les fourmillions, toujours d'ERMEL. ça permet de passer de la manipulation à la représentation puis à l'abstraction.

ça te parait intéressant comme étapes ? ou peut-être que c'était évident pour toi ?

Pour remonter encore dans le temps, cette représentation en barre me rappelle mon fichier de maths de CP (je vous parle d'un autre siècle, dans les années 70 !!!) : on ne nous faisait pas représenter les problèmes en barre mais avec des "patates" ☺️ voir mon essai de schéma. Il doit y avoir une raison pour utiliser le schéma en barre. Je n'ai jamais cherché la raison. Mais pourquoi pas ?

Reste en effet le problème de la représentation de la proportion. Est-ce vraiment indispensable au CP ou au CE1 ? Pour percevoir et mettre en évidence la notion de proportion, il me semble qu'en réalité, c'est que l'élève a déjà "trouvé" la réponse au problème. Quand, dans ton déroulé, tu représentes le "14" plus petit que le nombre inconnu, c'est parce que tu as anticipé que 14 est plus petit que la moitié de 37. Je ne sais pas si mon explication est claire ?

Je ne réponds pas vraiment à tes questions... au contraire j'en pose d'autres 🤣.

[vieuxmatheux]

Merci,

Bien sûr que cet extrait doit être précédé de beaucoup d'autres problèmes, mais je ne cherche pas à proposer une démarche sur l'année (il y a des choses dans ce sens sur mon petit site) mais plutôt à détailler, pour un problème plutôt difficile en fin de CP, ce qu'on peut dire pour expliciter le raisonnement. Dans certains ouvrages, on se contente de faire un schéma avec trois cases et de dire quelque chose comme "on cherche une partie, c'est une soustraction", ce qui me semble largement insuffisant pour que les élèves comprennent.

Cependant, je ne partage pas l'idée qu'il faut forcément passer par la manipulation pour commencer les problèmes numériques. Si on dispose des objets dont il est question, on peut les compter… or résoudre un problème numérique, c'est justement répondre à une question alors qu'on ne peut pas compter.

Par ailleurs, mettre en évidence les avantages et inconvénients de la représentation ensembliste en patates par rapport à celle en barre serait très intéressant, mais comme il y a actuellement un matraquage du ministère pour imposer la représentation en barrres partout, j'essaie juste de me couler dans le moule (pas facile, je n'ai pas l'échine très souple) et de proposer des façons pour introduire, décrire, commenter, cette représentation afin qu'elle soit intelligible des élèves, que ce ne soit pas seulement un truc magique et incompréhensible.

Ceci dit, pour être positif, même si c'est un truc magique et incompréhensible, il a au moins le mérite d'être plus modeste que l'enseignement aux élèves des catégories de Gérard Vergnaud qu'on trouvait partout il y a quelques années. 

[André Jorge]

C'est pas évident à faire, je trouve... Voici ma modeste contribution :

Il y a 4 heures, vieuxmatheux a dit :

ce qu'on peut dire pour expliciter le raisonnement.

En ce qui me concerne, je commencerais par un nombre plus petit que 37. Pour moi, commencer avec un grand nombre c'est l'assurance de me planter avec les élèves les moins bons.

Je pense que les élèves ne vont pas comprendre qu'une bande représente des billes... Pourquoi ne pas dire plutôt qu'on dessine la boîte dans laquelle il y a les billes ? (puisque c'est ce dont il est question dans l'énoncé et que cela sera plus parlant selon moi pour les élèves)

Mais si on fait ça, ça change beaucoup de choses pour la suite...

1- Je pars sur un nombre plus petit : 10 billes.

2- Je dessine une barre qui représente la boîte de 10 billes, l'emplacement de chaque bille étant représenté par une case (Cf. fichier joint).

3- Dans chaque case, je dessine une bille. En tout, j'ai dessiné 10 billes.

4- Je colorie en rouge les billes d'Aïcha. Il y en a 6. 

5- Maintenant, je colorie en bleu les billes de Louis. Je les compte : il y en a 4.

6- Dans une nouvelle boîte (sans les billes et sans les cases donc), j'écris des nombres à la place des dessins. 

7- Raisonnement mathématique :

 Le nombre total de billes (10) est la somme des billes rouge (6) et des billes bleues (4).

On peut écrire : 

10 = 6 + 4

6 + 4 = 10 

Aïcha a mis 6 billes dans la boîte et Louis en a mis 4.

recit probleme - 2.pdf

 

 

[vieuxmatheux]

Merci beaucoup pour cette contribution précise.

Sur la question du nombre en jeu, je suis d'accord avec toi s'il s'agit des premiers problèmes, mais ma proposition était située en fin de CP ou début de CE1, il ne me semble donc pas que les nombres que j'utilise soient excessifs… à adapter bien sûr selon la période et les connaissances réelles des élèves.

Il me semble que la différence essentielle entre nos deux propositions est le fait de dessiner ou non chacune des billes.

Les dessiner est possible avec les nombres de ton exemple, ça deviendrait vraiment fastidieux avec les miens.

Mais surtout, il y a une différence de point de vue :  pour moi, un problème numérique, c'est une question à laquelle on ne peut pas répondre en comptant. 

Pour des valeurs petites comme celles que tu proposes, j'utiliserais plus volontiers le format suivant : on place au tableau des bandes recto verso ( les élèves ne les manipulent pas). Sur la face invisible, il y a des carreaux (tous de la même taille). La face visible porte le nombre de carreaux de la bande, écrit en chiffres, ou éventuellement un point d'interrogation.

Après les premières séances de familiarisation avec le matériel, un problème proche du tien pourrait donc se poser en affichant au tableau ces bandes, dans rien écrire d'autre.

Ce n'est que quand on pense avoir résolu le problème qu'on peut retourner les bandes pour voir si on a raison.

Il est certain que ta proposition est beaucoup plus proche que la mienne des préconisations du guide orange sur nombres et problèmes en CP, laquelle insiste beaucoup sur le passage progressif à l'abstraction. De mon côté, il me semble que l'abstraction dont parle ce guide est trompeuse : ce n'est pas parce qu'on remplace des gâteaux par des cubes puis par des cubes dessinés qu'on a avancé dans l'abstraction. Les enfants n'ont jamais eu de problème avec " on va dire que ce bout de bois, c'est le loup et que cette pierre c'est……" .  La véritable difficulté arrive quand les objets (réels ou dessinés) ne sont plus visibles individuellement et qu'on ne peut plus compter.

Modifié 26 novembre 2023 par vieuxmatheux

[André Jorge]

Il y a 23 heures, vieuxmatheux a dit :

un problème numérique, c'est une question à laquelle on ne peut pas répondre en comptant

Si je comprends bien donc, lorsqu’on travaille sur un problème numérique, la priorité c’est l’exploration et la compréhension des concepts. L’utilisation de petits nombres est donc exclue, à mon sens.

Ne pourrait-on pas colorier différemment les parties de la bande qui représentent les billes rouges et bleues ? Je pense que cela aiderait les élèves à distinguer visuellement les deux groupes de billes.

[vieuxmatheux]

il y a 31 minutes, André Jorge a dit :

Si je comprends bien donc, lorsqu’on travaille sur un problème numérique, la priorité c’est l’exploration et la compréhension des concepts.

Je ne suis pas vraiment certain de comprendre ce que tu veux dire par là.

Je me réfère plutôt à Rémi Brissiaud qui explique qu'on accède pas au calcul en comptant de plus en plus et de mieux en mieux, que le calcul et le comptage sont deux procédures radiaclement différentes et que si on s'appuie de façon trop importante sur le comptage, on bloque l'accès au calcul.

Par ailleurs (je ne suis pas sûr que ça réponde à ta remarque) on voit souvent des séances "de problèmes" où presque tout le temps est consacré à la lecture et la compréhension de l'énoncé. Il me semble que si on veut vraiment faire des maths, il faudrait poser des problèmes sans texte (comme mon exemple de bandes quadrillées) tant que les élèves n'ont pas une certaine aisance avec la lecture. C'est pour ça que (en plus de la valeur des nombres) mon premier exemple ne peut pas à mon avis être posé avant la fin du CP.

Pour la couleur, ça peut certainement aider pour ce problème où les couleurs sont mentionnées dans l'énoncé, je ne sais pas si ça peut se généraliser.

il y a 30 minutes, André Jorge a dit :

L’utilisation de petits nombres est donc exclue, à mon sens.

Je ne comprends pas pourquoi. L'exemple avec les bandes quadrillées que je donne dans le message précédent est pour moi un vrai problème. 

Peut-être que pour toi problème numérique est synonyme de "problème numérique posé par un texte", ce qui est conforme à la tradition, mais qu'est-ce qui justifie cette tradition ?

Modifié 27 novembre 2023 par vieuxmatheux

[gascinho]

Moi ce qui m'embête dans cette histoire de schéma en barres, c'est la proportionnalité de la longueur des barres. Il me semble que si on veut que la taille des barres soit proportionnelle, il faut avoir résolu le problème pour pouvoir faire le schéma (ou au moins avoir une idée relativement précise du résultat). L'enjeu deviendrait presque de résoudre le problème pour faire un schéma et non de faire un schéma pour résoudre le problème.

Je préfère les schémas en barres dont la longueur ne dépend pas du nombre à l'intérieur (dans ton cas, on coupe en deux, à la moitié) qui amène à jouer avec 14 + ? = 37 comme 37 - 14 = ? et 37 - ? = 14. C'est l'idée des faits mathématiques ou des faits reliés que tu connais certainement.

Du coup je ne suis pas sûr que ma remarque soit très utile car elle ne va pas t'aider à présenter aux élèves des schémas en barres proportionnels ^^

[vieuxmatheux]

Je ne suis pas sûr de bien comprendre.

Il ne s'agit pas d'exiger une proportionnalité précise dans la réalisation du schéma, mais de s'appuyer sur les idées suivantes :

s'il y a deux (ou trois) fois plus de trucs, il faut une barre deux (ou trois) fois plus longue.

s'il y a autant de billes vertes que de bleues et de rouges réunies, la barre des billes vertes est aussi longue que celle des bleues et des rouges mises bout à bout.

Ce sont ces deux raisonnements qui constituent la proportionnalité (aspects multiplicatif et additif).

De mon point de vue, la proportionnalité est introduite par cette phrase : j'imagine qu'il y a 37 cases derrière la bande, avec une bille dans chaque case.

Si on respecte ça (avec des cases toutes identiques), les deux types de raisonnement proportionnel en découlent. 

Sinon, il me semble que les barres ne sont que des étiquettes, dont la longueur n'a aucune importance, mais alors pourquoi en mettant bout à bout deux bandes obtient-on une bande correspondant au nombre somme ?

 

Aïcha met 14 billes rouges dans une boite vide.
Louis met des billes bleues dans la boite.
Cécile compte toutes les billes, les rouges et les bleues : elle trouve 37 billes en tout.
Combien Louis a-t-il mis de billes bleues ?

Dans le récit que je propose, le moment important est me semble-t-il celui où on a déjà dessiné une barre (celle qui représente toutes les billes dans mon texte, mais rien n'oblige à commencer par ça) et où on se demande où sont les billes rouges : sont-elles déjà dessinées ? Puis où sont les billes bleues ?

C'est vrai que je respecte la proportionnalité dans mon schéma (déformation professionnelle sans doute) mais tu remarqueras que les questions posées fonctionnent tout aussi bien si la proportionnalité n'est pas respectée.

Ceci dit, il me semble que se poser la question avec les élèves : la barre des billes rouges, je la dessine plutôt comme ça ? ou comme ça ? n'est pas inutile, ça attire l'attention sur les ordres de grandeur, quitte à dire qu'on choisit la longueur un peu au hasard si on ne sait pas.

 

Modifié 22 décembre 2023 par vieuxmatheux

[gascinho]

Oui, je rebondissais plus sur la suite du fil que sur ta situation initiale. Effectivement, ton "récit" du problème semble parfait pour donner du sens au schéma et les étapes amènent naturellement à la proportionnalité de la taille des bandes.

Je me posais la question de l'après. Ton objectif est de donner du sens au schéma en barres, et je trouve a priori que tu l'atteins très bien, et la proportionnalité des barres se justifie pleinement dans ce cadre.

Je me disais seulement que l'objectif du schéma est d'être un outil pour l'élève pour l'aider à résoudre des problèmes. Et j'ai l'impression que au moment où l'élève va fabriquer ce schéma pour envisager l'opération qui lui permettra de résoudre son problème, la proportionnalité des barres peut être un obstacle, comme le soulignait Lolita je crois. Partant de là, rétrospectivement, je me pose la question de l'utilité de présenter le schéma en barres avec cette idée de proportionnalité. J'ai l'impression que ça ne l'est pas mais je me garderai bien de penser que j'ai raison.

Du coup, pour alimenter aussi ma réflexion, ne crois-tu pas que la proportionnalité des bandes puisse être un frein plus tard (tu parles toi même de l'usage des schémas en bande plus tard) au moment où l'élève fabriquera le schéma ?