Jeu / Situation mathématique atypique / a-didactique

[helenel]

Bonjour!

J'ai proposé à mes CM en séance de résolution de problèmes la "course à 20". (phase de jeu, détermination des positions gagnantes puis variables et cheminement vers l'abstraction). C'était intéressant car les élèves étaient très engagés.

Connaissez-vous d'autres jeux ou tours mathématiques qui engagent une réflexion sur les stratégies?

[André Jorge]

Bonjour

Dans ce jeu mathématique, le but est de parvenir au nombre 20 avant son adversaire. Chaque joueur, à son tour, ajoute le nombre 1 ou le nombre 2 au total déjà atteint :

1- Les joueurs décident qui commence.
2- Ils partent de 0 et ajoutent tour à tour un nombre entre 1 et 3.
3- Le joueur qui atteint exactement 20 gagne.

As-tu réussi à faire trouver la stratégie qui permet de gagner à tous les coups ?...

Il y a 5 heures, helenel a dit :

Connaissez-vous d'autres jeux ou tours mathématiques qui engagent une réflexion sur les stratégies?

Sinon, je me suis dit que tu pouvais proposer aux élèves une autre version du jeu où :

- la plage des nombres à ajouter est plus grande : ils ajoutent 1, 2 ou 3, ou encore les nombres de 1 à 4,...

- ils ajoutent d'autres nombres, non consécutifs : 1, 3 et 5 par exemple.

- tu changes le nombre à atteindre : 25 ou 30.

- ajouter uniquement des dizaines et des unités (par exemple, uniquement 10, 20, 1, ou 2) pour atteindre des nombres comme 50 ou 100. 

Tu pourrais proposer un compte à rebours : depuis 20 (ou un autre nombre), arriver à 0. 

[André Jorge]

Le jeu de Nim, avec des allumettes ou d'autres objets :

On dispose un certain nombre d'allumettes (par exemple, 12).
À tour de rôle, les joueurs prennent entre 1 et 3 allumettes.
Le joueur qui prend la dernière allumette gagne (ou perd, selon ce qui sera décidé).

J'ai trouvé cette page sur ce jeu :
https://www.pedagogie.ac-nice.fr/mathematiques/wp-content/uploads/sites/30/2020/04/jeu_nim_O-Ginola_final.pdf

[helenel]

Oui, c'est bien la course à 20 tirée des situations fondamentales de Brousseau!🙂

Les élèves ont assez vite compris la première position gagnante (17), et se sont rendu compte qu'elle avait un "antécédent" (14), et au fil des déductions, ils sont remontés jusqu'à 2 dans tous les groupes.  C'était une vraiment chouette séance, avec des élèves impliqués, qui ont été très rapidement dans l'émission d'hypothèses avec essais, vérification, etc... 

Dans la séance qui a suivi, on a institutionnalisé sur les difficultés de la séance (incertitude sur ce que va jouer l'adversaire) et sur ces fameuses positions gagnantes. Quand j'ai demandé "comment pourrait-on gagner à coup sûr une course à 24?", il était évident pour une grande majorité qu'il fallait lister et apprendre les positions gagnantes en partant de 24 et en itérant des "reculs" (?) de 3. Je suis un peu coincée sur le niveau d'abstraction qu'on peut donner à ce type de situation.

Dans les variantes, je pensais effectivement proposer un changement de "pas" (de 1 à 4) et varier le nombre de joueurs (plus 2 mais 3). Les variables que tu proposes sont vraiment intéressantes, et vont nous amener à considérer ce jeu comme un objet mathématique!

Merci!

[helenel]

Il y a 8 heures, André Jorge a dit :

Le jeu de Nim, avec des allumettes ou d'autres objets :

On dispose un certain nombre d'allumettes (par exemple, 12).
À tour de rôle, les joueurs prennent entre 1 et 3 allumettes.
Le joueur qui prend la dernière allumette gagne (ou perd, selon ce qui sera décidé).

J'ai trouvé cette page sur ce jeu :
https://www.pedagogie.ac-nice.fr/mathematiques/wp-content/uploads/sites/30/2020/04/jeu_nim_O-Ginola_final.pdf

Les jeux de Nim sont souvent reliés à la course à 20, la manipulation des nombres est plus subtile. En terme de différenciation, il y a des possibilités intéressantes!

Je ne connaissais pas le document que tu as joint, il est très intéressant, un grand merci!😀

[vieuxmatheux]

Je n'ai pas travaillé particulièrement cette question auparavant, et je vais peut-être dire quelques bêtises, mais je me permets quand même de donner quelques pistes pour continuer (il n'est pas certain qu'elles soient toutes intéressantes ni adaptées aux élèves).

Les élèves semblent avoir remarqué qu'on obtient les positions gagnantes en reculant de 3 en 3… on peut alors se demander

Pourquoi ça marche ? 

parce que, quel que soit le nombre proposé par l'adversaire, il est toujours possible de jouer le complément à 3.  2 s'il a joué 1 et 1 s'il a joué 2, ce qui fait qu'on peut imposer une avance de 3 entre les deux coups où l'on joue.

Cela se généralise facilement à un jeu où l'on peut ajouter de 1 à 5, 6 ou 17.   Quel que soit le nombre joué par l'adversaire, on peut jouer le complément à 5+1,  à 6+1. ou à 17+1 

Peut-on trouver le premier nombre gagnant sans effectuer les soustractions réitérées ?

Si je divise le nombre Cible par 3, je trouve que Cible = 3q + r. Si je joue r pour commencer, il me suffira ensuite de veiller à bien faire des étapes de 3. Si c'est l'adversaire qui commence, je n'ai qu'à espérer qu'il n'ait pas fait les mêmes remarques, sinon je n'ai aucun espoir de gagner. S'il n'a pas fait les mêmes remarques, j'attends patiemment qu'il joue un nombre qui n'est pas dans la liste gagnante.

De même, si Cible = 100 et qu'on peut ajouter 1, 2, 3, 4 ou 5 à chaque fois, en divisant 100 par 6 on trouve que 100 = 16 x 6 + 4. Celui qui joue en premier est donc sûr de gagner en jouant 4 puis toujours le complément à 6.

Si Cible = 100 et qu'on peut ajouter 1, 2, 3, ou 4 à chaque fois,  comme 100 = 20 x 5. Celui qui joue en premier ne peut pas jouer 0, c'est donc celui qui joue en deuxième qui est gagnant s'il a bien analysé le jeu.

Est-ce que partir d'un grand nombre et avoir pour cible 0 change le jeu ?

Seulement en apparence, il suffit pour s'en convaincre de faire sur un coin de papier annexe la somme des nombres que les joueurs décident d'enlever. Bien entendu quand ils arrivent à zéro, c'est qu'ils ont enlevé au total le nombre de départ, sur le papier annexe, on a la trace d'une partie de course à… ordinaire.

Ce qui fait que le jeu de nim est exactement équivalent à la course à…

Et si on pouvait ajouter un nombre de 4 à 7 ?

Il est toujours possible d'imposer une avance de 11 entre deux de ses coups. avec Cible = 100,  comme 100 = 9 x 11 + 1, on ne peut pas appliquer la stratégie précédente puisqu'il est impossible de jouer 1 pour commencer.

Cette version est donc probablement moins intéressante pour introduire la division euclidienne, mais beaucoup plus pour jouer. Il faut aussi décider ce qui se passe si un joueur ne peut plus jouer sans que la cible ait été atteinte.

Décider que celui qui ne peut plus jouer a perdu relance l'analyse : comme on ne peut ajouter ni 1 ni 2 ni 3,  atteindre 97 98 ou 99 est gagnant. 97 = 8 x 11 + 9        98 = 8 x 11 + 10          99 = 9 x 11 + 0.     Le premier joueur ne peut jouer ni 1 pour atteindre 100) ni 9 ni 10… c'est donc le deuxième joueur qui est gagnant par exemple en veillant dès le départ à compléter à 11 ce que joue le premier. Il atteindra ainsi 99.

Et si on jouait à 3 ?

L'analyse est plus délicate, je ne suis pas allé au bout ,mais le jeu n'en est que plus amusant (à condition d'aimer les alliances de deux joueurs contre le troisième et les trahisons)… 

 

Le 15/11/2024 à 22:17, helenel a dit :

Connaissez-vous d'autres jeux ou tours mathématiques qui engagent une réflexion sur les stratégies?

 

La "tour de Hanoï" est un casse-tête qui répond peut-être à ce que tu cherches : 

Un certain nombre de rondelles de diamètre différent sont enfilées sur une tige, la plus grande en bas, puis par taille décroissante, pour former une sorte de cône.

Il y a à côté deux autres tiges vides sur lesquelles les rondelles peuvent être enfilées.

Le problème consiste à déplacer toute la tour sur une autre tige en respectant les contraintes suivantes : 

On déplace une seule rondelle à la fois.

Il est interdit de poser une rondelle sur une autre qui est plus petite qu'elle.

 

On peut évidemment simplifier le matériel en empilant des carrés de carton de plusieurs tailles sur trois emplacements. Il est conseillé de commencer avec des piles pas trop hautes (4 étages par exemple).

 

J'en profite pour replacer ici une petite pub pour les problèmes d'optimisation de mon petit site, qui me semblent à même de satisfaire le même genre d'envie de chercher. : https://www.primatheux.fr/optimisation

Modifié 17 novembre par vieuxmatheux

[helenel]

Un grand merci pour toutes ces pistes! En effet, leur conclusion en fin de 2ème séance était "mais en fait, si on connait les "pas" et la position à atteindre, on peut savoir en faisant des calculs si on doit commencer ou pas". Ils n'ont pas encore "reconnu" la division euclidienne, mais ce n'est pas forcément mon objectif.

Pour les parties à 3, j'essaierai de revenir ici raconter.

La tour de Hanoï me plaît beaucoup, ils vont devoir tester/ajuster/attribuer à leurs erreurs un statut intéressant.

Merci également pour ta ressource que je ne connaissais pas, c'est une mine! J'avais découvert le "problème  qui déchire" cet été (article DREAMaths) et j'avoue que c'est cette situation qui m'a donné envie de travailler sur les problèmes "atypiques"! (pas juste sous la forme d'un rallye maths)