3 exercices que je n'arrive pas a résoudre

[christella]

Exercice 1

Le but de l'exercice est de trouver une règle de calcul mental qui permette de calculer le produit de 2 nombres entiers naturels strictement inferieurs a 100 tels que:

-leur chiffre des dizaines soit le mm

-la somme de leurs chiffres des unités soit 10

1)enoncez cette regle et prouvez la

2)appliquez la à 2 exemples

Exercice 2

N est un nbr entier qui s'ecrit avec 3 chiffres et qui vérifie les conditions suivantes:

-N n'est pas un nombre entier de dizaines

-le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités

-l'ecriture usuelle de (N-297) comporte les mm chiffres que celle de N,mais les chiffres sont dans l'ordre inverse.

Quel est ce nombre? Donner toutes les solutions.

Exercice 3

pour numéroter les pages d'une encyclopédie on a imprimé 1988 fois le chiffre 1.

Combien de pages compte l'encyclopédie???

[Penelope]

n°1

ba * ca

tel que b + a = 10

d'après les propriétés de la multiplication,

ba *ca = 10b * 10c + b * a + 10 *c * a + a * a = 100 * b * c + a * (b + 10 c) + a au carré

= 100 bc + 100 a + a au carré

62*42 =2604

62*42 = 100 * 6 * 4 + 100 * 2 + 4 = 2400 + 200 +4 = 2604

[kikoo]

Exercice 1:

-leur chiffre des dizaines soit le mm

-la somme de leurs chiffres des unités soit 10

Prenons des exemples

21 x 29 = 0609

32 x 38 = 1216

43 x 47 = 2021

54 x 56 = 3024

65 x 65 = 4225

etc...

on remarque que les deux derniers chiffres correspondent au produit des chiffres des unités, et que les deux premiers chiffres correspondent au produit du chiffre des dizaines par son suivant.

1)enoncez cette regle et prouvez la

Soit ab un premier nombre, sa valeur sera 10a +b

et la valeur du second sera 10a +(10-b)

on doit donc prouver que (10a + b) (10a + (10-b)) = (a*(a+1)*100) + b*(10-b)

ou (a*(a+1)*100 correspond au deux premiers chiffres du resultat et ou b*(10-b) correpond au deux derniers chiffres.

Il suffit de developper et de simplifier l'expression de départ, ca donne une preuve.

Exercice 2

N est un nbr entier qui s'ecrit avec 3 chiffres et qui vérifie les conditions suivantes:

Soit abc ce nombre, sa valaur sera 100a+10b+c

>-N n'est pas un nombre entier de dizaines

on en deduit que c est diiferent de 0

-le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités

on en deduit que 4c = b

-l'ecriture usuelle de (N-297) comporte les mm chiffres que celle de N,mais les chiffres sont dans l'ordre inverse.

N-297 = 100a+10b+c-297 = 100 c +10 b + a (le nombre cba donc)

On a donc un systeme avec 1 inegalité et 2 equations à résoudre

c <> 0 (<> signifie different de )

4c = b

100a+10b+c-297 = 100 c +10 b + a qui se simplifie en a-c = 3

on résoud

a-c = 3 et 4c = b en sachant que a, b, c sont des chiffres donc compris entre 0 et 9

Les solutions sont

a= 5, c = 2 et donc b =8

a=4, c= 1 et donc b = 4

a=3, c= 0 et donc b =0

La derniere solution est supprimée car c <> 0

Les solutions sont donc

582 et 441

On peut verifier

582-297 = 285

et 441-297 = 144

et aussi verifier les autres proprietes ( b=4c et c<>0) qui se "voient"

Pour l'exo 3, je reflechis et je reviens peut etre si j'arrive à expliquer

Kikoo

[Penelope]

n ° 2

tu dois répondre à des conditions :

4 u = d

cdu - 297 = udc

c + d + u > 10

condition c < 10, d < 10 et u < 10

d'après cdu - 297 = udc alors d - (9+ 1 ) = d donc il y a une retenue au niveau des unités donc u < 7, ce qui est logique puisque 4u = d et d<10

de plus u < 10/4 donc u < 2,5 donc u soit égal à 1 soit à 2 car u est entier.

si u = 1, d = 4 * 1 = 4

donc c41 - 297 = 14c et c = 4

or c + d+u = 4 + 4 +1 = 9 ce qui ne respecte pas une des conditions car 9 < 10

si u = 2, d = 4 * 2 = 8

donc c82 -297 = 28c et c = 5 et c + d + u = 5 + 8 + 2 = 15 , c'est bien supérieur à 10.

[Penelope]

Pour le n°3, il me semble l'avoir déjà fait, mais je dois partir, je te donnerai donc la solution ce soir si personne ne te l'a donné avant.

[Penelope]

voilà ce que j'ai fait :

n°3

de la page 1 à 999, le chiffre 1 est utilisé 100 fois en position unités, 100 fois en position dizaine et 100 fois en position 100.

Ce qui fait un total de 300 fois.

de la page 1000 à 1999, encore 300 fois pour les positions unités, dizaines et centaines, et 1000 fois pour les positions milliers.

Ce qui fait un total 1600 en ce qui concerne les pages 0 à 1999.

de 2000 à 2999

300 fois le chiffre 1

de 3000 à 3999

300 fois le chiffre 1

Ce qui fait 1900.

Il manque 88 fois chiffre 1 :

de 4000 à 4099, il est utilisé 20 fois (10 fois pour les unités et 10 fois pour les dizaines)

de 4100 à 4109, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4110 à 4119, il est utilisé 21 fois (1 fois pour les unités, 10b fois pour les dizaines et 10 fois pour les centaines)

de 4120 à 4129, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4130 à 4139, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4140 à 4149, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

ce qui fait un total de

20 + 21 + 11 * 4 = 85

1900 + 85 = 1985

1988 – 1985 = 3

il manque 3 fois le chiffre 1 qui apparaît une fois dans 4150 et deux fois dans 4151.

[Penelope]

Pour celui si j'ai fait une erreur :

n ° 2

tu dois répondre à des conditions :

4 u = d

cdu - 297 = udc

c + d + u > 10 ça c'est pas bon

condition c < 10, d < 10 et u < 10

d'après cdu - 297 = udc alors d - (9+ 1 ) = d donc il y a une retenue au niveau des unités donc u < 7, ce qui est logique puisque 4u = d et d<10

de plus u < 10/4 donc u < 2,5 donc u soit égal à 1 soit à 2 car u est entier.

si u = 1, d = 4 * 1 = 4

donc c41 - 297 = 14c et c = 4

si u = 2, d = 4 * 2 = 8

donc c82 -297 = 28c et c = 5

Deux solutions sont possibles : 441 et 582

Par contre je ne comprends pas ce que veux dire "N n'est pas un nombre entier de dizaines"

[Dominique]

Par contre je ne comprends pas ce que veux dire "N n'est pas un nombre entier de dizaines"

<{POST_SNAPBACK}>

Comme l'a dit kikoo ça veut dire que le chiffre des unités n'est pas égal à 0.

[kikoo]

Apres plusieurs essais et coquilles, nous trouvons ca :

De la page 1 à la page 99, je trouve 20 fois le chiffre 1

De la page 1 à la page 999, ca serait 20+ 120+ 8*20 soit 300 fois le chiffre 1.

De la page 1 à la page 1999, ca donne : 300+1300

De la page 1 à la page 2999, 300+1300+300 soit 1900 fois

De la page 1 à la page 3199, il y a 300+1300+ 300+20 + 120 c'est trop

De la page 1 à la page 3099, il y a 300+1300+ 300+20 c'est plus assez (1920)

il en manque 68!!

soit 3100, 3101,3102,3103,3104,3105,3106,3107,3108,3109, 3110, 3111, 3112, 3113, 3114, 3115, 3116, 3117, 3118, 3119,3120, 3121,3122, 3123, 3124,3125,3126,3127,3128,3129,3130,3131,3132,3133,3134,3135,

3136,3137,3138,3139, 3140,3141,3142,3143,3144,3145,3146,3147,3148,3149,3150,3151

donc 3151 pages et pas d'autres possibilités car 3152 ferait ajouter un 1!!

Si il y a encore des bugs, dites le !!

Rmq : on fait l'hypothese qu'il utilise des chiffres que pour numeroter les pages et pas dans les contenus de l'encyclopedie sinon on est mal :P

[Penelope]

n°1

ba * ca

tel que b + a = 10

d'après les propriétés de la multiplication,

ba *ca = 10b * 10c + b * a + 10 *c * a  + a * a = 100 * b * c + a * (b + 10 c) + a au carré

= 100 bc + 100 a + a au carré

62*42 =2604

62*42 = 100 * 6 * 4 + 100 * 2 + 4 = 2400 + 200 +4 =  2604

<{POST_SNAPBACK}>

Comme me la signalé Kikoo, j'ai aussi fait une erreur , voilà ce qui arrive quand je reste sur le forum alors que je dois partir. :P :P

Je suis parti du principe que c'était les chiffres des unités qui étaient identiques et que la somme de ceux des dizaines étaient 10. C'est donc ce que j'ai démontré.

Mais le principe de la démonstration est le même et ça peut toujours servir pour un prochain exercice.

b + c = 10

ab *ac = 10 *a *c + 10 * a *10 * a +b * 10 * a + b * c

ab *ac = 10 * a * c + 100 a au carré + 10 * a * b + b * c

ab *ac = 10 a (b + c) + 100 a au carré + b * c

ab *ac = 10 * 10 * a + 100 a au carré + b * c

ab *ac = 100 a au carré + 100 a + b *c

Vérification avec un exemple

24 * 26 = 624

a = 2, b = 4 et c = 6

a au carré = 4

donc 100 a au carré = 100* 4 = 400

100 a = 100 * 2 = 200

b * c = 4 * 6 = 24

donc 24 * 26 = 400 + 200 + 24 = 624

Merci Kikoo

[Penelope]

voilà ce que j'ai fait :

n°3

de la page 1 à 999, le chiffre 1 est utilisé 100 fois en position unités, 100 fois en position dizaine et 100 fois en position 100.

Ce qui fait un total de 300 fois.

de la page 1000 à 1999, encore 300 fois pour les positions unités, dizaines et centaines, et 1000 fois pour les positions milliers.

Ce qui fait un total 1600 en ce qui concerne les pages 0 à 1999.

de 2000 à 2999

300 fois le chiffre 1

de 3000 à 3999

300 fois le chiffre 1

Ce qui fait 1900.

Il manque 88 fois chiffre 1 :

de 4000 à 4099, il est utilisé 20 fois (10 fois pour les unités et 10 fois pour les dizaines)

de 4100 à 4109, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4110 à 4119, il est utilisé 21 fois (1 fois pour les unités, 10b fois pour les dizaines et 10 fois pour les centaines)

de 4120 à 4129, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4130 à 4139, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 4140 à 4149, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

ce qui fait un total de

20 + 21 + 11 * 4 =  85

1900 + 85 = 1985

1988 – 1985 = 3

il manque 3 fois le chiffre 1 qui apparaît une fois dans 4150 et deux fois dans 4151.

<{POST_SNAPBACK}>

Là aussi j'ai fait une erreur quand j'ai repris l'exercice le pire c'est que sur mon brouillon c'était juste mais, j'ai cru en le tapant que je m'étais planté : résultat une erreur de 1000 pages 300 1 de trop! Bon j'arrête les maths pour ce soir ou peut être définitivement

de 2000 à 2999

300 fois le chiffre 1

Ce qui fait 1900.

Il manque 88 fois chiffre 1 :

de 3000 à 3099, il est utilisé 20 fois (10 fois pour les unités et 10 fois pour les dizaines)

de 3100 à 3109, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 3110 à 3119, il est utilisé 21 fois (1 fois pour les unités, 10b fois pour les dizaines et 10 fois pour les centaines)

de 3120 à 3129, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 3130 à 3139, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

de 3140 à 3149, il est utilisé 11 fois (1 fois pour les unités et 10 fois pour les centaines)

ce qui fait un total de

20 + 21 + 11 * 4 = 85

1900 + 85 = 1985

1988 – 1985 = 3

il manque 3 fois le chiffre 1 qui apparaît une fois dans 3150 et deux fois dans 3151.

[kikoo]

Ben, voilà on a la meme reponse, ca me rassure car je n'etais pas toute à fait sure du resultat.

Vive les maths à plusieurs, :P

Kikoo