schounette Posté(e) 27 janvier 2005 Posté(e) 27 janvier 2005 bonjour à tous Quelqu'un peut-il m'expliquer la marche à suivre pour résoudre l'exo suivant trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13 et a x b=14476 je trouve 1092 et 13 mais je suis sure qu'il existe une formule à apliquer. merci à tous
Araneda Posté(e) 27 janvier 2005 Posté(e) 27 janvier 2005 VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P pgcd.doc
schounette Posté(e) 27 janvier 2005 Auteur Posté(e) 27 janvier 2005 merci pour ton aide mais je n'arrive pas à ouvrir ton doc
schounette Posté(e) 27 janvier 2005 Auteur Posté(e) 27 janvier 2005 OUPS, désolée j'ai finalement ouvert le doc et je travaille dessus encore merci
Dominique Posté(e) 27 janvier 2005 Posté(e) 27 janvier 2005 trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13 et a x b=14476 Bonjour, Si c'est bien le bon énoncé, le problème n'a pas de solution car 14476 n'est pas divisible par 13 (or 13 devrait être un diviseur de a et donc de a×b). Je résous dont l'exercice en prenant a × b = 14196 (valeur trouvée dans le document de Araneda). Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve 14476 = 2² × 3 x 7 × 13². 13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b. Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas appraître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions. D'où les solutions : a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092) a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156) a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364) a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52) Remarque pour Araneda : On ne peut pas avoir a = 546 et b = 26 car PGCD(546,26) = 26. Par contre, il te manque a = 364 et b= 39.
schounette Posté(e) 27 janvier 2005 Auteur Posté(e) 27 janvier 2005 trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13 et a x b=14476 Bonjour, Si c'est bien le bon énoncé, le problème n'a pas de solution car 14476 n'est pas divisible par 13 (or 13 devrait être un diviseur de a et donc de a×b). Je résous dont l'exercice en prenant a × b = 14196 (valeur trouvée dans le document de Araneda). Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve 14476 = 2² × 3 x 7 × 13². 13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b. Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas appraître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions. D'où les solutions : a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092) a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156) a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364) a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52) Remarque pour Araneda : On ne peut pas avoir a = 546 et b = 26 car PGCD(546,26) = 26. Par contre, il te manque a = 364 et b= 39. <{POST_SNAPBACK}> Merci beaucoup à vous deux, j'ai maintenant compris la démarche à suivre !!
Elliot Posté(e) 27 janvier 2005 Posté(e) 27 janvier 2005 Salut ! Le nombre n'est pas 14476 mais 14196 ! ça change tout ! Donc, moi , j'ai fait comme ça: Décomposition en produit de facteurs 1er : 14196=(2^2)x(3)x(7)x(13^2) Ensuite j'ai écrit l'arbre des diviseurs de 14196. Puis une fois qu'on a tous les diviseurs de 14196, il est facile de trouver les diviseurs vérifiant axb=14196 Seulement certains vérifient PGCD ( a,b )= 13 13x1092 91x156 39x364 273x52 26x546 182x78 Voilà.
Elliot Posté(e) 27 janvier 2005 Posté(e) 27 janvier 2005 Effectivement,, j'ai oublié 364x39 et je m'aperçois que 546x26 ne convient pas...
indiana Posté(e) 1 février 2005 Posté(e) 1 février 2005 merci pour la précision quant à 26x546 ! ouf !
arno14 Posté(e) 1 février 2005 Posté(e) 1 février 2005 VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P <{POST_SNAPBACK}> Je pense qu'il manque cette possibilité a=364 et b=39 et ou a=39 et b=364 où a=13*28 b=13*3. 28=13*2*2*7 Il y aurait alors 10 couples possibles ?!
arno14 Posté(e) 1 février 2005 Posté(e) 1 février 2005 VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P <{POST_SNAPBACK}> Je pense qu'il manque cette possibilité a=364 et b=39 et ou a=39 et b=364 où a=13*28 b=13*3. 28=13*2*2*7 Il y aurait alors 10 couples possibles ?! <{POST_SNAPBACK}> pardon 28=2*2*7
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