pgcd - cned devoir 3

[schounette]

bonjour à tous

Quelqu'un peut-il m'expliquer la marche à suivre pour résoudre l'exo suivant

trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13

et a x b=14476

je trouve 1092 et 13 mais je suis sure qu'il existe une formule à apliquer. merci à tous

[Araneda]

VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P

pgcd.doc

[schounette]

merci pour ton aide mais je n'arrive pas à ouvrir ton doc

[schounette]

OUPS, désolée j'ai finalement ouvert le doc et je travaille dessus

encore merci

[Dominique]

trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13

et a x b=14476

Bonjour,

Si c'est bien le bon énoncé, le problème n'a pas de solution car 14476 n'est pas divisible par 13 (or 13 devrait être un diviseur de a et donc de a×b).

Je résous dont l'exercice en prenant a × b = 14196 (valeur trouvée dans le document de Araneda).

Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve

14476 = 2² × 3 x 7 × 13².

13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b.

Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas appraître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions.

D'où les solutions :

a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092)

a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156)

a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364)

a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52)

Remarque pour Araneda :

On ne peut pas avoir a = 546 et b = 26 car PGCD(546,26) = 26.

Par contre, il te manque a = 364 et b= 39.

[schounette]

trouver 2 entiers naturels s'ils existent tel que PGCD (a, b) = 13

et a x b=14476

Bonjour,

Si c'est bien le bon énoncé, le problème n'a pas de solution car 14476 n'est pas divisible par 13 (or 13 devrait être un diviseur de a et donc de a×b).

Je résous dont l'exercice en prenant a × b = 14196 (valeur trouvée dans le document de Araneda).

Si on décompose 14196 en produit de nombres premiers, on trouve

14476 = 2² × 3 x 7 × 13².

13 est un diviseur de a et b donc un des facteurs 13 provient de la décomposition en nombres premiers de a et l'autre facteur 13 de la décomposition en nombres premiers de b.

Comme 13 doit être le plus grand diviseur commun à a et b, on trouve toutes les solutions en cherchant toutes les manières de répartir les autres facteurs entre les décompositions de a et b qui ne font pas appraître un même facteur autre que 13 dans les deux décompositions.

D'où les solutions :

a = 13 x 2² x 3 × 7 = 1092 et b = 13 (et bien sûr a = 13 et b = 1092)

a = 13 x 2² x 3 = 156 et b = 13 x 7 = 91 (et bien sûr a = 91 et b = 156)

a = 13 × 2² x 7 = 364 et b = 13 × 3 = 39 (et bien sûr a = 39 et b = 364)

a = 13 x 2² = 52 et b = 13 x 3 x 7 = 273 (et bien sûr a = 273 et b = 52)

Remarque pour Araneda :

On ne peut pas avoir a = 546 et b = 26 car PGCD(546,26) = 26.

Par contre, il te manque a = 364 et b= 39.

<{POST_SNAPBACK}>

Merci beaucoup à vous deux, j'ai maintenant compris la démarche à suivre !!

[Araneda]

Merci pour la précision Dominique :P

[Elliot]

Salut !

Le nombre n'est pas 14476 mais 14196 !

ça change tout !

Donc, moi , j'ai fait comme ça:

Décomposition en produit de facteurs 1er : 14196=(2^2)x(3)x(7)x(13^2)

Ensuite j'ai écrit l'arbre des diviseurs de 14196. Puis une fois qu'on a tous les diviseurs de 14196, il est facile de trouver les diviseurs vérifiant axb=14196

Seulement certains vérifient PGCD ( a,b )= 13

13x1092

91x156

39x364

273x52

26x546

182x78

Voilà.

[Elliot]

Effectivement,, j'ai oublié 364x39 et je m'aperçois que 546x26 ne convient pas...

[indiana]

merci pour la précision quant à 26x546 !

ouf !

[arno14]

VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P

<{POST_SNAPBACK}>

Je pense qu'il manque cette possibilité

a=364 et b=39 et ou a=39 et b=364

où a=13*28 b=13*3.

28=13*2*2*7

Il y aurait alors 10 couples possibles ?!

[arno14]

VOila comment j'ai fait , si qqun pouvait confirmer :P

<{POST_SNAPBACK}>

Je pense qu'il manque cette possibilité

a=364 et b=39 et ou a=39 et b=364

où a=13*28 b=13*3.

28=13*2*2*7

Il y aurait alors 10 couples possibles ?!

<{POST_SNAPBACK}>

pardon

28=2*2*7