exo de maths

[davido]

Si ça vous dit de vous entrainer sur un sujet pas evident, voici l'enonce

Le triangle ABC est equilateral .la droite IJ est parallele à BC et de plus, le triangle AIJ et le trapeze BIJC ont le meme perimetre. Quelle est l'aire la plus grande entre le trapeze et le triangle ?

bon courage

dav

[Anwamanë]

Un indice ?

Il fut l'un des Sept sages de la Grèce et le fondateur présumé de l'école milésienne.

[davido]

Salut Affable76

Je vois bien qu'il faut utiliser Thalès mais je n'arrive pas à l'appliquer comme il faut pour résoudre l'exo, tu l'as reellement résolu ?

dav

[teissa]

J'attend la réponse avec impatience...hier soir j'ai cherché et me suis endormie avec et toujours pas la solution...moi aussi j'ai pensé à Thalès mais rien trouvé du tout !!!

Affable donne nous la réponse !!!!!!

[Dominique]

J'attend la réponse avec impatience...hier soir j'ai cherché et me suis endormie avec et toujours pas la solution...moi aussi j'ai pensé à Thalès mais rien trouvé du tout !!! 

Comme [iJ] est parallèle à [bC], les triangles AIJ et ABC sont homothétiques. Le triangle AIJ est donc, lui aussi, un triangle équilatéral.

Appelons a la longueur des côtés du triangle équlatéral ABC et x la longueur des côtés du triangle équilatéral AIJ.

Le périmètre du triangle AIJ vaut 3x.

Le périmètre du trapèze BIJC vaut (a-x) + x + (a-x) + a soit 3a - x.

Ces deux périmètres sont égaux lorsque 3a - x = 3x c'est-à-dire lorque x = 3/4a.

Lorsque x =3/4a, le triangle AIJ est l'image du triangle ABC dans l'homothétie de centre A et de rapport 3/4. On a donc :

Aire de AIJ = (3/4)² × Aire de ABC = 9/16 Aire de ABC

On en déduit :

Aire de BIJC = Aire de ABC - 9/16 Aire ABC = 7/16 Aire ABC.

L'aire du triangle AIJ est donc supérieure à l'aire du trapèze BIJC.

[elora danan]

Je pense avoir trouvé :

Soient H le milieu de [bC], et H' le milieu de [iJ]

D'abord, calculons k, le rapport entre les triangles ABC et AIJ, tel que AB = kAI.

AI + AJ + IJ = BI + BC + CJ

3 x AI = 2 x BI + BC

3 x AI = 2 x (k-1) x AI + k x IJ

3 x AI = 2 x (k-1) x AI + k x AI

3 = 2 x (k-1) + k

3 = 3 x k -1

k = (3 + 1) / 3

k = 4/3

Maintenant, calculons l'aire de AIJ :

A(AIJ) = IJ x AH' x 1/2

A(AIJ) = IJ x IJ x racine(3)/2 x 1/2

A (AIJ) = IJ^2 x racine(3)/4

Puis l'aire de BIJC :

A(BIJC) = (IJ+BC)/2 x HH'

HH' = AH - AH' = BC x racine(3)/2 - IJ x racine(3)/2 = IJ x racine(3)/2 x (k-1)

=> A(BIJC) = (IJ+BC)/2 x IJ x racine(3)/2 x (k-1)

A(BIJC) = IJ x (1+k)/2 x IJ x racine(3)/2 x (k-1)

A(BIJC) = IJ^2 x racine(3)/4 x (1+k) x (k-1)

A(BIJC) = A(AIJ) x (1+k) x (k-1)

A(BIJC) = A(AIJ) x (1 + 4/3) x (4/3 - 1)

A(BIJC) = A(AIJ) x 7/3 x 1/3

A(BIJC) = A(AIJ) x 7/9

L'aire du triangle est donc supérieure à celle du parallélogramme.

Vérifiez quand même les calculs, on ne sait jamais, il peut toujours y avoir une erreur. Mais je crois que c'est bon.

[elora danan]

Bon, d'après ce que je viens de voir, mes résultats collent avec ceux de Dominique.... N'empêche que c'est 'ach'ment moins long chez lui!!!

D'habitude je vais assez directement au but, mais là je dois avouer que j'ai bien compliqué les choses.

[davido]

Merci mille fois pr ces reponses

[Anwamanë]

Désolée,

Dominique a été plus rapide et certainement plus clair que moi...

Décallage horaire...

Bon courage !

[Yaël]

Le jour où j'arriverai à faire ça toute seule n'est pas encore arrivé, loin s'en faut...

Bravo !