Quadrilatère convexe, quadrilatère non croisé

[vieuxmatheux]

Il est étonnant que cette discussion porte sur la convexité. en réalité c'est le caractère non croisé qui importe.

Si vous placez sur une feuille 4 points (sans que trois d'entre eux soient alignés) et que vous tracez ensuite tous les quadrilatères possibles ayant ces ponts comme sommets, il y a deux situations possibles :

1. l'un des points est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres, dans ce cas les trois quadrilatères que vous pouvez tracer sont non croisés et concaves.
2. dans les autres cas on peut tracer un quadrilatère non croisé et deux quadrilatères croisés.

Au CRPE, l'usage est de ne s'intéresser qu'aux quadrilatères non croisés. Quand une question porte sur un quadrilatère, il est implicitement admis que celui-ci est non croisé. C'est pourquoi on n'embête pas les candidats qui, comme le signale Dominique, utilisent une formulation du théorème qui n'en fait pas état. 

Si deux segments sont parallèles et de même longueur, ils sont les côtés opposés de deux quadrilatères : l'un est croisé, l'autre est un parallélogramme. C'est implicitement toujours de ce dernier qu'il est question au crpe.

Évidemment, ça a de la classe d'écrire "les côtés opposés [AB] et [CD] du quadrilatère ABCD sont parallèles et de même longueur, de plus ce quadrilatère n'est pas croisé (ce que nous admettons), c'est donc un parallélogramme" mais ça ne rapporte rien de plus que la version simple. Ça peut même vous nuire si un peu plus loin vous commettez, peut être par étourderie, une erreur de raisonnement jugée grossière par les correcteurs car votre soucis de rigueur passera alors plutôt pour un formalisme déplacé. 

En ce qui concerne les quadrilatères concaves non croisés, ils ne peuvent pas avoir de côtés parallèles, c'est pourquoi le concept de convexité/concavité ne me semble pas pertinent dans cette histoire.