Exo de Maths

[Babynette]

Bonjour,

Voilà 2 exos qui me posent problème. Un peu d'aide, surtout pour la démonstration, serait la bienvenue !

- Quel est le chiffre des unités du nombre 3 (puissance 123) ?

réponses possibles : 1 3 6 7 9 (bonne réponse :7)

- Un cycliste monte un col à la vitesse constante de 20 km/h. Il le redescend plus tard en suivant la même route à la vitesse constante de 60 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne sur le trajet aller-retour (sans compter l'arrêt en haut du col)?

Bonne réponse : 30

Heu j'ai pas tout compris ! Comment répondre sans avoir ni la distance parcourue, ni la durée du parcours ?

Merci !

[laurymado]

la distance parcouru est la meme en montant comme en descendant

sinon pour le 1er exo en fait

3 puissance 1: 3

3 2: 9

3 3: 7

3 4: 1

3 5: 3

donc on voit que ca revient a chaque fois donc 3puissance10 se termine par un 3 3 puissance 220 par un 3 donc 3 puissance 23 par un 7

[Babynette]

la distance parcouru est la meme en montant comme en descendant

sinon pour le 1er exo en fait

3 puissance 1: 3

3                2: 9

3                3: 7

3                4: 1

3                5: 3

donc on voit que ca revient a chaque fois donc  3puissance10 se termine par un 3 3 puissance 220 par un 3 donc 3 puissance 23 par un 7

<{POST_SNAPBACK}>

merci beaucoup !

heu...j'ai pas compris pour le deuxième exo...

[elora danan]

Le cycliste parcours la distance d, à 20km/h. Il met d/20 heures.

Puis au retour il parcours la distance d, à 60km/h. Il met d/60 heures.

Il a donc parcouru la distance 2d en d/20+d/60 heures.

Il a donc eu la vitesse moyenne :

V = 2d/(d/20+d/60)=2/(1/20+1/60)=2/(4/60)=2*60/4=2*15=30km/h

Et voila pour les détails!

la distance parcouru est la meme en montant comme en descendant

sinon pour le 1er exo en fait

3 puissance 1: 3

3                2: 9

3                3: 7

3                4: 1

3                5: 3

donc on voit que ca revient a chaque fois donc  3puissance10 se termine par un 3 3 puissance 220 par un 3 donc 3 puissance 23 par un 7

<{POST_SNAPBACK}>

merci beaucoup !

heu...j'ai pas compris pour le deuxième exo...

<{POST_SNAPBACK}>

[marjo]

3 puissance 1: 3

3                2: 9

3                3: 7

3                4: 1

3                5: 3

donc on voit que ca revient a chaque fois donc  3puissance10 se termine par un 3 3 puissance 220 par un 3 donc 3 puissance 23 par un 7

<{POST_SNAPBACK}>

Je comprends ta démarche et je t'en remercie mais pour 3 puissance 10 je trouve 59049 donc pour moi cela se termine par un 9

Il est peut-être un peu tard pour faire des maths :P

[Dominique]

Remarque "a puissance b" est noté ici a^b.

3^1 se termine par un 3

3^2 se termine par un 9

3^3 se termine par un 7

3^4 se termine par un 1

3^5 se termine par un 3

3^6 se termine par un 9

3^7 se termine par un 7

3^8 se termine par un 1

etc.

On peut remarquer que si n est un multiple de 4, alors 3^n se termine par un 1.

On effectue la division euclidienne de 123 par 4 pour trouver le plus grand multiple de 4 inférieur ou égal à 123 et on trouve comme quotient 120 (et comme reste 3).

Ensuite on dit que :

3^120 se termine par un 1

3^121 se termine par un 3

3^122 se termine par un 9

3^123 se termine par un 7

Remarque : on peut même aller plus loin et dire que, de façon générale, 3^n (avec n quelconque supérieur ou égal à 4) se termine par le même chiffre que 3^r où r est le reste dans la division euclidienne de n par 4.

Donc :

- si ce reste vaut 0 alors 3^n se termine par un 1

- si ce reste vaut 1 alors 3^n se termine par un 3

- si ce reste vaut 2 alors 3^n se termine par un 9

- si ce reste vaut 3 alors 3^n se termine par un 7

Modifié 7 avril 2005 par Dominique

[marjo]

Merci beaucoup Dominique pour tes explications très claires!!

[Cosinus]

Remarque : on peut même aller plus loin et dire que, de façon générale, 3^n (avec n quelconque supérieur ou égal à 4) se termine par le même chiffre que 3^r où r est le reste dans la division euclidienne de n par 4.

Donc :

- si ce reste vaut 0 alors 3^n se termine par un 1

- si ce reste vaut 1 alors 3^n se termine par un 3

- si ce reste vaut 2 alors 3^n se termine par un 9

- si ce reste vaut 3 alors 3^n se termine par un 7

Je pense que l'erreur est due au copier-coller, mais c'est bien de corriger

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Sinon, c'est bien de dire 'on remarque', mais ne serait t'il pas plus rigoureux de dire que l'on démontre ce résultat par récurrence ? (je ne sais pas encore si c'est au programme pour le CRPE, je débute...)

Par exemple

* 3^0=1 Ok, finit par un 1

* Propriété à démontrer si 3^n finit par un 1, alors 3^(n+4) finit par un 1

3^(n+4)=(3^n)*(3^4)=(3^n)*81=(3^n*8)*10+(3^n)

Donc si 3^n finit par un 1, alors 3^(n+4) finit également par un 1.

*Par récurrence 3^a avec a multiple de 4 finit par un 1...

[Dominique]

Remarque : on peut même aller plus loin et dire que, de façon générale, 3^n (avec n quelconque supérieur ou égal à 4) se termine par le même chiffre que 3^r où r est le reste dans la division euclidienne de n par 4.

Donc :

- si ce reste vaut 0 alors 3^n se termine par un 1

- si ce reste vaut 1 alors 3^n se termine par un 3

- si ce reste vaut 2 alors 3^n se termine par un 9

- si ce reste vaut 3 alors 3^n se termine par un 7

Dans la conclusion, j'avais effectivement mis 2^n au lieu de 3^n par inadvertance. Merci de l'avoir remarqué. J'ai corrigé.

Sinon, c'est bien de dire 'on remarque', mais ne serait t'il pas plus rigoureux de dire que l'on démontre ce résultat par récurrence ? 

.../...

Pour le CRPE, on peut se contenter de dire : si un terme de la suite se termine par un 3, le suivant se terminera par un 9 car 3×3 = 9 puis le suivant par un 7 car 3×9 = 27 puis le suivant par un 1 car 3×7 = 21 puis le suivant par un 3 car 3×1 = 3 et donc ensuite ça recommence ... (justification : Soit n un nombre qui se termine par le chiffre u. Quand on mulitplie n par 3 le dernier chiffre du nombre obtenu est le même que le dernier chiffre du nombre 3u ; il suffit d'imaginer le début de la multiplication posée pour arriver à cette conclusion).

[Babynette]

Un grand merci à tous !