Sujet machine à compter Strasbourg 2004

[Shubert]

Salut!

Je ne retrouve pas le post dans lequel on en parlait. Donc revoilà... C'est la suite qui me pose problème, surtout la correction du CRDP.

L'énoncé:

On considère la machine à nombres suivante:

Etape 1: ajouter 2

Etape 2: Multiplier par 4

Etape 3: Enlever 20

Etape 4: diviser par 2.

1. Quel nb faut-il entrer dans la machine pour obtenir un zéro à l'issue de l'étape 4?

2. On fait entrer un nb x, exprimer en fonction de X les nombres obtenus à chaque étape.

3. Existe-t-il un nb qui ressort inchangé après avoir traversé la machine?

4.On fabrique une novuelle machine en ajoutant deux étapes

5. Multiplier par a

Etpae 6: Ajouter b

Déterminer les valeurs de a et de b, pour que tout nombre ressorte inchangé après avoir traversé la nouvelle machine.

Réponses :

1. Le nb 3

2. 2(x+2)-10 = 2x-6

3. x=6

4. C'est là que je ne comprends pas

Ca revient à chercher x=a(2x-6)+b ou (2a-1)x-6a+b=0. D'accord.

Cette égalité est vérifiée pour tout x ssi:

2a-1=0

-6a+b=0

ou encore a=1/2

-3+b=0

Donc tout nombre ressort inchangé lorsque a=1/2 et b=3.

Mais pas seulement?! D'abord comment arrive-t-on à 2a-1=0 et -6a+b=0? Pourquoi ça ne peut être que cette traduction là de l'équation?

Si on prend a = 1 et b=2 par exemple, ça marche pour x=4. Mais pas pour tous les nombres rentrés dans la machine...

Si vous avez la solution, l'explication...

Merci!

[Marie-Claire]

développe l'écriture "a(2x-6)+b-x = 0"

donc ça donne :

2ax - 6a +b -x = 0

x(2a-1)-6a+b = 0

après c'est une équation qui est égale à 0 si l'un des 2 termes est égal à 0 :

1er terme : 2a-1 = 0

2a = 1

a = 1/2

ensuite tu remplaces "a" dans le 2ème terme par ce que tu viens de trouver (1/2) :

-6*1/2 + b = 0

-6/2 + b = 0

-3 + b = 0

b = 3

[sharleenefr]

développe  l'écriture "a(2x-6)+b-x = 0"

donc ça donne :

2ax - 6a +b -x = 0

x(2a-1)-6a+b = 0

après c'est une équation qui est égale à 0 si l'un des 2 termes est égal à 0 :

1er terme : 2a-1 = 0

2a = 1

a = 1/2

ensuite tu remplaces "a" dans le 2ème terme par ce que tu viens de trouver (1/2) :

-6*1/2 + b = 0

-6/2 + b = 0

-3 + b = 0

b = 3

<{POST_SNAPBACK}>

Je ne comprends pas pourquoi on ne tiens pas compte de X dans x(2a-1)-6a+b=o

car apres on n'en tiens pluq compte...

peux tu m'aider Marie-Claire???

[licou]

x(2a-1)-6a+b = 0

après c'est une équation qui est égale à 0 si l'un des 2 termes est égal à 0 :

<{POST_SNAPBACK}>

Dans ce cas il faut que les 2 termes soient chacun égal à 0 je pense.

Sharleenefr on n'a pas besoin de tenir compte du x, car si 2a-1=0 alors x(2a-1) sera =0

[licou]

Ca revient à chercher x=a(2x-6)+b ou (2a-1)x-6a+b=0. D'accord.

Cette égalité est vérifiée pour tout x ssi:

2a-1=0

-6a+b=0

ou encore a=1/2

-3+b=0

Donc tout nombre ressort inchangé lorsque a=1/2 et b=3.

Mais pas seulement?! D'abord comment arrive-t-on à 2a-1=0 et -6a+b=0? Pourquoi ça ne peut être que cette traduction là de l'équation?

Si on prend a = 1 et b=2 par exemple, ça marche pour x=4. Mais pas pour tous les nombres rentrés dans la machine...

Si vous avez la solution, l'explication...

Merci!

<{POST_SNAPBACK}>

en fait on est obligé de choisir 2a-1=0 et -6a+b= o, car si l'on prenait autre chose, l'équation entière changerait en fonction de x, or on veut que quelque soit la valeur de x, x soit inchangé à la sortie.

Dans l'exemple que tu prends (a=1 et b=2) la machine ne marche que pour 4 et pas pour le reste, car ton équation change en fonction de x.

bon, c'est pas claire du tout ce que je raconte, j'arrive pas à m'xpliquer ! :P

et puis moi, je n'avais pas trouvé, j'ai compris seulement en voyant la correction !

[Shubert]

Si si, c'est clair! Enfin, avec ce que j'avais compris, ça explique complètement! Ma solution n'était pas valable pour n'importe quel x. Pour trouver pour n'importe quel x, on doit effectivement faire comme tu l'as dit Licou.

Merci et bon courage à vous!

[Socrates]

ATTENTION:

"x(2a-1)-6a+b = 0

après c'est une équation qui est égale à 0 si l'un des 2 termes est égal à 0"

c'est faux de dire ça, tout au moins incomplet, à moins que j'ai loupé un épisode...

On a affaire à une addition de membres pas un produit.

Si on a (x -a) (x + b) = 0 par exemple là tu peux dire que l'un des membres est nul.

Il faut un produit pour affirmer que l'un des membres est nul pas une addition!

Pour ma part je dirais que s'il doit etre valable pour tout x, il doit l'etre pour x=0 et x=1.

Pour X = 0 on a 6a - b = 0 donc b = 6a

Pour X = 1 on a (1 - 2a) + 6a - b = 0

on remplace a par b=6a on obtient

1-2a + 6a - 6a = 0 donc 1 = 2a donc a = 1/2

b = 6a = 6 * 1/2 = 3

Je ne sais pas si ce raisonnement est rigoureux...

[Socrates]

UP pour d'autres propositions de résolutions et/ou correctifs...

[Dominique]

Question 4 :

On doit avoir 2ax - 6a + b = x pour tout x.

Soit 2ax - 6a + b = 1x + 0 pour tout x.

D'où 2a = 1 et -6a + b = 0.

D'où a = 0,5 et b =3.

Ce n'est pas une question facile : il faut savoir que deux polynomes du type

ax + b et cx + d ne peuvent donner le même résultat pour tout nombre x que si a = c et b = d.

Remarque : Ce résultat se généralise aux polynomes de degré quelconque.

Exemple : ax² + bx + c et dx² + ex + f ne peuvent donner le même résultat pour tout nombre x que si a = d et b = e et c = f.

[Socrates]

Voilààààààààààààààààààà c'etait CE raisonnement dont je n'arrivais plus à me souvenir, sur le "pour tout x"...

Grand merci de rattraper ma mémoire défaillante...

[Shubert]

Merci à vous, c'est le raisonnement qui manquait pour comprendre en toute rigueur.