Nb réels : exercice non compris

[gregoria]

Bonjour,

Je révise les maths avec les livres du CNED de l'an dernier et je ne comprends pas un exo. Voici le problème

On doit prouver que "racine carré" de 2 n'est pas rationnel.

On utilise un raisonnement par l'absurde :

- On suppose que le nb "racine carré" de 2 est rationnel, il peut d'onc s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q (p et q nb entiers, q différent de 0) Jusque là pas de pb je comprends.

-On sait que "racine carré" de 2 au carré = 2 donc (p/q)au carré=2 cad p au carré/q au carré = 2

Il faut étudier l'existence de p et q tels que p "au carré"= 2q"au carré".

Et là j'y suis plus. Mais le gros du pb c'est que les questions n'ont pas encore été posées!!!! C'est pour maintenant.

1 Prouver que si p et q existent, ils ne peuvent pas être tous les 2 pairs.

2 - On admet les propriétés suivantes:

"Le carré d'un nb pair est un nb pair"

"Le carré d'un nb impairs est un nb impairs"

Prouver alors que p est pair et q impair

3 - Montrer que le carré d'un nb pair est un multiple de 4. Déduire de ce qui précède l'impossibilité de l'existence de p et q et donc que "racine carré" de 2 n'est pas un nb rationnel.

J'ai lu la correction proposée et je ne comprends pas plus! Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à décortiquer cet exercice SVP!

Merci

Pat

[Dominique]

On doit prouver que "racine carré" de 2 n'est pas rationnel.

On utilise un raisonnement par l'absurde :

- On suppose que le nb "racine carré" de 2 est rationnel, il peut d'onc s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible p/q (p et q nb entiers, q différent de 0) Jusque là pas de pb je comprends.

-On sait que "racine carré" de 2 au carré = 2 donc (p/q)au carré=2 cad p au carré/q au carré = 2

Il faut étudier l'existence de p et q tels que p "au carré"= 2q"au carré".

Et là j'y suis plus.

Jusque là, on a dit simplement qu'on voulait savoir s'il pouvait exister des entiers p et q tels que p/q = racine (2) c'est-à-dire tels que (p/q)² = 2 c'est-à-dire tels que

p²/q² = 2 c'est-à-dire tels que p² = 2q².

Mais le gros du pb c'est que les questions n'ont pas encore été posées!!!!   C'est pour maintenant.

1 Prouver que si p et q existent, ils ne peuvent pas être tous les 2 pairs.

p et q ne peuvent être tous les deux pairs car si c'était le cas p/q ne serait pas une fraction irréductible (on pourrait "simplifier par 2").

2 - On admet les propriétés suivantes:

"Le carré d'un nb pair est un nb pair"

"Le carré d'un nb impairs est un nb impairs"

Puisque ces résultats sont admis dans l'énoncé, il n'y a pas à les démontrer.

Ceci dit, ce n'est pas très difficile :

Si m est un entier pair alors m = 2k avec k entier et donc m² = 4k² = 2×(2k²) avec 2k² entier donc m² est pair.

Si m est un entier impair alors m = 2k+1 avec k entier et donc

m² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2×(2k²+2k) +1 avec 2k²+2k entier donc m² est impair.

Mais, encore une fois, ces démonstrations n'étaient pas demandées.

Prouver alors que p est pair et q impair

Si p était impair, son carré serait impair (résultat admis dans l'énoncé) ce qui n'est pas possible car p² est pair puisque p²=2q² avec q² entier.

Donc p est pair.

Par ailleurs, on a démontré au 1) que p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux. Comme p est pair, q est donc nécessairement impair.

3 - Montrer que le carré d'un nb pair est un multiple de 4. Déduire de ce qui précède l'impossibilité de l'existence de p et q et donc que "racine carré" de 2 n'est pas un nb rationnel.

Si m est un nombre pair, m=2k avec k entier donc m² = (2k)² = 4k² avec k² entier donc m² est un multiple de 4. Donc le carré d'un nombre pair est un multiple de 4.

Comme p est pair, p² est donc un multiple de 4. Il s'écrit donc 4n avec n entier.

On en déduit, puisque p² = 2q², que 4n = 2q² donc que q² = 2n avec n entier.

On arrive à une contradiction car on a prouvé précédemment que q devait être impair ce qui implique, avec le résultat admis dans l'énoncé, que q² est impair et on vient de démontrer que q² valait 2n avec n entier donc que q² est pair. Un nombre entier ne peut être pair et impair en même temps donc p et q ne peuvent exister donc racine(2) est un nombre irrationnel.

[gregoria]

Merci Dominique,

Tout parait effectivement plus clair quand l'exo est décortiquer ainsi.

Merci bcp d'avoir pris ce temps.

Pat