Trois exercices avec corrigés

[nanou69]

Bonjour à tous; MERCI pour toutes ces aides, c'est vraiment gentil de votre part, BON COUAGE A TOUS !

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Courage à toi aussi, et je tire mon chapeau à Dominique

Je pense que l'on va finir par céer un fan-club...

[doudou]

C'est vraiment sympa Dominique. Maintenant Y a PLUS QU'A

[Car_a_Mel]

merci beaucoup justement je me disais que ca faisait longtemps que j'avais pas fait d'exercices de maths

[cora13]

je ne sais pas où mettre mon exercice alors j'essaie ici.

mon prof m'a donné cet énoncé et je dois dire que je rame complet

le voici:

on considère trois points A,B et C alignés dans cet ordre; il s'agit de placer le point B sur le segment [AC] tel que AB/BC=AC/AB en posant AB=1 et AC=x

1°-démontrer que l'équation (E) à résoudre est x²-x-1=0

2°-vérifier l'égalité: x²-x=(x²-x+1/4)-1/4 en déduire la ou les solutions de l'équation

en fait c'est la deuxième question qui me pose problème

merci d'avance à dominique ou à d'autres si vous pouvez m'aider

[Dominique]

C'est normal que ça te pose problème car la résolution des équations du second degré n'est pas au programme.

C'est pourquoi ton prof te donne une indication, utiliser cette "astuce" : x²-x = (x²-x+1/4)-1/4 (ce qui est "évident")

L'équation à résoudre devient (x²-x+1/4)-1/4-1 = 0 autrement dit

x²-x+1/4 - 5/4 = 0.

Quel est l'intérêt de cette "astuce" ? C'est que x²-x+1/4 est une identité remarquable (bien "cachée", je te l'accorde) :

x²-x+1/4 = (x-1/2)²

L'équation s'écrit donc (x-1/2)² - 5/4 = 0 soit (x-1/2)² =5/4

D'où x-1/2 = rac5/2 ou x-1/2 = -rac5/2 (rac pour racine carrée).

D'où x =(1+rac5)/2 ou x=(1-rac5)/2.

Mais, dans ton problème, x est une longeur donc est positif. Seule la première solution convient.

Remarque : c'est ce qu'on appelle le nombre d'or et il ya de "bien belles choses" à raconter sur cet exercice (arts plastiques, musique,...) ... mais il n'est vraiment pas simple dans le cadre d'une préparation au CRPE.

[cora13]

merci beaucoup dominique

je me permets alors de donner la deuxième partie de mon exercice

on désigne par ¤ le nombre (1+rac5)/2 :

1°-démontrer ¤+1 et ¤² puis 1/¤ et ¤-1

2°- quelles propriétés remarque-t-on?

3°-en se servant de ce qui a été obtenu dans la partie 1, on pouvait prévoir ce résultat.Pourquoi et quel nombre vérifie ces propriétés?

en fait je ne connait pas ces propriétés et j'ai beau chercher partout dans des bouquins je ne trouve pas.

ça aussi ce n'est pas au programme pour le CRPE??

[Penelope]

on désigne par ¤ le nombre (1+rac5)/2 :

1°-démontrer ¤+1 et ¤² puis 1/¤ et ¤-1

¤+1 = (1+rac5) / 2 + 1 = (1+rac5) / 2 + 2 / 2 = (3 + rac5) / 2

¤² = [(1+rac5) / 2] puiss2 = (6 + 2 rac 5) / 4 = (3 +rac 5) / 2

Identité remarquable du type (a + b)puiss2

(1+rac5) puiss 2 = 1 puiss 2 + 2 * 1 * rac5 + rac 5 puiss 2 = 6 + 2 rac 5

Donc ¤+1 = ¤²

[Dominique]

¤+1 = (1+rac5) / 2 + 1 = (1+rac5) / 2 + 2 / 2 = (3 + rac5) / 2

¤² = [(1+rac5) / 2] puiss2 = (6 + 2 rac 5) / 4 = (3 +rac 5) / 2

Identité remarquable du type (a + b)puiss2

(1+rac5) puiss 2 = 1 puiss 2 + 2 * 1 * rac5 + rac 5 puiss 2 = 6 + 2 rac 5

Donc ¤+1 = ¤²

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C'est tout à fait ça mais je me permets une petite traduction

[Dominique]

Pour la deuxième relation à démontrer ( 1/x = x-1 ), tu peux

- transformer comme pour le 1°) d'une part x-1 et d'autre part 1/x

et montrer qu'on arrive au même résultat mais il y a une "astuce connue" pour 1/x (multiplier numérateur et dénominateur par )

ou

- partir de la première relation ( x+1=x² ) (très rapide mais un peu "astucieux")

[Penelope]

Oui c'est beaucoup plus clair comme ça merci

[cora13]

merci pour vos explications je comprends mieux maintenant et surtout je me rends compte que c'était pas si difficile que ça!!

merci à dominique pour sa rédaction car c'est souvent là ou je coince