periode

[missoni]

Bonjour, il y a assez souvent des exercices qui demandent pour un nombre donné d'expliquer pourquoi son écriture est périodique, ou plutôt pourquoi les restes dans la division euclidienne concernée reviennent périodiquement. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer, je sais que je nesuis pas très claire, mais je n'ai pas d'exemple sous la main....si jamais quelqu'un voit de quoi je cause.....

Merci d'avance

[duss]

Es-tu sur que l'on te demande une telle chose??

Personnelement j'ai fait licence maths donc je peux te demontrer ca mais ca m'etonnerai que ce sois du niveau CRPE!!!!!

Tiens moi au courant!

[Penelope]

Bonjour, il y a assez souvent des exercices qui demandent pour un nombre donné d'expliquer pourquoi son écriture est périodique, ou plutôt pourquoi les restes dans la division euclidienne concernée reviennent périodiquement. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer, je sais que je nesuis pas très claire, mais je n'ai pas d'exemple sous la main....si jamais quelqu'un voit de quoi je cause.....

Merci d'avance

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Tu ne voudrais pas plutôt savoir comment on fait pour démontrer si un nombre est décimal ou rationnel ?

[missoni]

Bonjour, il y a assez souvent des exercices qui demandent pour un nombre donné d'expliquer pourquoi son écriture est périodique, ou plutôt pourquoi les restes dans la division euclidienne concernée reviennent périodiquement. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer, je sais que je nesuis pas très claire, mais je n'ai pas d'exemple sous la main....si jamais quelqu'un voit de quoi je cause.....

Merci d'avance

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Tu ne voudrais pas plutôt savoir comment on fait pour démontrer si un nombre est décimal ou rationnel ?

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Dans un exercie de Aix-Marseille 97, il est demandé en question f de retrouver en utilisant les questions précédentes pourquoi l'écriture décimale de 64/27 est périodique et infinie, ce qui revient bien à montrer pourquoi, les mêmes restes reviennetn toujours, donc les m^mes chiffres au quotient, donc la période, non?

[Oliver]

Quand tu fais la division de 64 par 27, tu trouves à la première opération : 2 reste 10

Si tu poursuis, tu peux voir que 64/27 = 2,370 + 10*27*1/1000

Il faut alors remarquer que le reste que tu obtiens à ce stade est à nouveau 10 (comme à la première étape). Si on continue la division on va faire les mêmes calculs (10/27) et donc trouver les mêmes résultats, à savoir : 370370370 ... à l'infini. On peut donc dire que l'écriture de ce nombre est périodique.

J'ai comme un doute sur la clarté de mon explication ...

[Dominique]

Prenons un exemple :

Quand on effectue la division décimale de 64 par 27

1°) on effectue une première division euclidienne pour trouver le chiffre des unités, celle de 64 par 27 : on trouve un quotient qui vaut 2 et un reste qui vaut 10. Le chiffre des unités vaut 2.

2°) On effectue ensuite une autre division euclidienne pour trouver le chiffre des dixièmes, celle de 100 par 27 : on trouve un quotient qui vaut 3 et un reste qui vaut 19. Le chiffre des dixièmes vaut donc 3.

3°) On effectue ensuite une autre division euclidienne pour trouver le chiffre des centièmes, celle de 190 par 27 : on trouve un quotient qui vaut 7 et un reste qui vaut 1. Le chiffre des centièmes vaut 7.

4°) On effectue ensuite une autre division euclidienne pour trouver le chiffre des millièmes, celle de 10 par 27 : on trouve un quotient qui vaut 0 et un reste qui vaut 10. Le chiffre des millièmes vaut 0.

5°) On effectue ensuite une autre division euclidienne pour trouver le chiffre des dix millièmes, celle de 100 par 27 mais, en fait, on effectue la même division qu'au 2°) et à partir de là tout s'enchaîne donc à nouveau de la même manière.

64/27 = 2,370370370370370 ... (avec une infinité de 370)

Pourquoi ? Parce qu'on est tombé sur un reste qu'on a déjà rencontré et c'est obligatoire (si on exclut le cas où on tombe sur un reste qui vaut 0 et où la division s'arrête, le résultat étant alors un nombre décimal) . Ca peut arriver plus au moins vite mais, comme le reste est toujours inférieur à 27, il n' y a que 26 restes possibles (si on exclut le 0) et, au pire au 27 ème coup, on est obligé de tomber sur un reste qu'on a déjà rencontré (ici ça arrive bien avant).

Bien entendu, il est facile de généraliser pour toute division décimale. C'est le même principe (les restes successifs sont toujours inférieurs au diviseur et sont donc en nombre fini).

Ceci explique pourquoi tout nombre rationnel non décimal admet une représentation décimale illimité périodique.

Remarque : on peut avoir tout une série de chiffres avant que la périodicité ne se mette en place.

Exemple : 152,3688534693469346934693469... (avec une infinité de 3469).

[missoni]

merci beaucoup, je crois que j'ai compris!