probleme exos de maths

[lolie2222]

voici les questions

-existe t il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal à la somme de ses chiffres?(justifez)

-montrez que si 7 est un diviseur commun aux deux entiers naturels ab bc, alors 7 divise egalement ca. En deduire que abbcca est divisible par 7.

-donnez une liste de tous les nombres qui s'ecrivent abbcca avec ab et bc divisibles par 7. par quel entier plus grand que 50 sont ils divisibles?

merci pour vos reponses

[Penelope]

-existe t il un entier naturel à deux chiffres qui soit égal à la somme de ses chiffres?(justifez)

Ce n'est pas possible :

Les sommes des deux chiffres sont comprises entre 1 (1 + 0 c'est-à-dire 10) et 18 (9 + 9)

Donc tu peux tester les nombres compris entre 10 et 18 (ce qui correspond au nombre de deux chiffres ; ceux inférieur à 10 ne répondant pas à une des conditions)

10 donne 1 + 0 donc 1

11 donne 1+1 = 2

12 donne 1+2 = 3

...

18 donne 1+8 = 9

[Dominique]

Autre méthode :

Si on appelle d le chiffre des dizaines et u le chiffre des unités, on doit nécessairement avoir :

10d+u = d+u d'où 9d = 0 d'où d = 0

Mais si d=0, le nombre est un nombre à 1 chiffre.

Il n'existe donc pas d'entier naturel à deux chiffres qui soit égal à la somme de ses chiffres.

[Penelope]

-montrez que si 7 est un diviseur commun aux deux entiers naturels ab bc, alors 7 divise egalement ca. En deduire que abbcca est divisible par 7.

Effectivement ça se vérifie mais je n'ai pas réussi à le montrer (à part de faire une liste.

ab = 14

bc = 42

ca = 21

ab = 14

bc = 49

ac = 91

ab = 21

bc = 14

ca = 42

ab = 28

bc = 84

ca = 42

ab = 35

bc = 56

ca = 63

ab = 42

bc = 21

ca = 14

ab = 42

bc = 28

ca = 84

ab = 49

bc = 91

ca = 14

ab = 49

bc = 98

ca = 84

ab = 56

bc = 63

ac = 35

ab = 63

bc = 35

ca = 56

ab = 70

bc = 07

ca = 77

ab = 77

bc = 70

ca = 07

ab = 77

bc = 77

ca = 77

ab = 84

bc = 42

ca = 28

ab = 84

bc = 49

ca = 98

ab = 91

bc = 14

ca = 49

ab = 98

bc = 84

ca = 49

Pour abb cca (à partir de la démonstration précédente, tu peux faire comme ça :

ab = 10 a + b = 7 * x

bc = 10 b + c = 7 * y

ca = 10 c + a = 7 * z

abb cca = 100 000 a + 10 000 b + 1 000 b + 100 c + 10 c + a

= 10 000 (10 a +b) + 100 (10 b + c) + 10 c + a

Or 10 a + b ; 10 b + c et 10 c + a sont multiples de 7, donc abb cca est multiple de 7 (propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition).

[Penelope]

-donnez une liste de tous les nombres qui s'ecrivent abbcca avec ab et bc divisibles par 7. par quel entier plus grand que 50 sont ils divisibles?

Pour la liste, tu peux la faire à partir de la réponse à la question 1.

abb cca = 100 000 a + 10 000 b + 1 000 b + 100 c + 10 c + a

= 100 001 a + 11 000 b + 110 c = 11 * ( 9091 a + 1 000 b + 10 c)

Ce nombre est aussi divisible par 7, il est donc divisible par 77.

[Dominique]

Effectivement ça se vérifie mais je n'ai pas réussi à le montrer (à part de faire une liste.

Ta réponse est cependant tout à fait correcte car tu as bien envisagé tous les cas possibles et donc tu as bien démontré le résultat.

Ceci dit, on peut, bien sûr, le démontrer sans faire la liste mais ça ne me semble pas facile à trouver.

Démonstration :

Hypothèses :

10a + b = 7k avec k entier

et

10b + c= 7k' avec k' entier.

1°) Eliminons b entre ces deux relations :

100a + 10b =70k

et

10b + c = 7k'

Donc, en soustrayant membre à membre, la première égalité de la deuxième :

c - 100a = 7k' - 70k

On en déduit que c = 100a + 7k' - 70k

2°) Il s'agit de démontrer maintenant que 10 c +a est divisible par 7 c'est-à-dire

que 10c + a peut s'écrire 7k" avec k" entier

On utilise la relation trouvée au 1°) :

10c + a = 1000a + 70k' -700k + a = 1001a + 70k'- 700k

= 7×143a +70k' -700k = 7x(143a +10k' -100k)

Or a, k' et k sont des entiers donc 143a + 10k' -100k est lui aussi un entier.

Donc, 10c + a est divisible par 7.

[Penelope]

J'ai fini par trouver quelque chose mais je ne suis pas sûre de la validité :

ab = 10 a + b = 7 * x

bc = 10 b + c = 7 * y

ca = 10 c + a

10 bc = 100 b + 10 c = 7 * 10 * x

100 ab = 1 000 a + 100 b = 7 * 100 * y

ca = 100 b + 10 c - (1 000 a + 100 b) + 1 001 a

Or 100 b + 10 c est multiple de 7 et 1 000 a + 100 b aussi.

Il faut donc vérifier que 1 001 a soit multiple de 7

1001 a = 7 * 143 * a

Donc ca est multiple de 7

[Penelope]

Maintenant je n'ai plus qu'à essayer de comprendre ce que Dominique a fait. Merci

[kate123]

Effectivement ça se vérifie mais je n'ai pas réussi à le montrer (à part de faire une liste.

Ta réponse est cependant tout à fait correcte car tu as bien envisagé tous les cas possibles et donc tu as bien démontré le résultat.

Ceci dit, on peut, bien sûr, le démontrer sans faire la liste mais ça ne me semble pas facile à trouver.

Démonstration :

Hypothèses :

10a + b = 7k avec k entier

et

10b + c= 7k' avec k' entier.

1°) Eliminons b entre ces deux relations :

100a + 10b =70k

et

10b + c = 7k'

Donc, en soustrayant membre à membre, la première égalité de la deuxième :

c - 100a = 7k' - 70k

On en déduit que c = 100a + 7k' - 70k

2°) Il s'agit de démontrer maintenant que 10 c +a est divisible par 7 c'est-à-dire

que 10c + a peut s'écrire 7k" avec k" entier

On utilise la relation trouvée au 1°) :

10c + a = 1000a + 70k' -700k + a = 1001a + 70k'- 700k

= 7×143a +70k' -700k = 7x(143a +10k' -100k)

Or a, k' et k sont des entiers donc 143a + 10k' -100k est lui aussi un entier.

Donc, 10c + a est divisible par 7.

<{POST_SNAPBACK}>

merci beaucoup pour la demonstration ,et pour toute l'aide que vous nous apportez!

[Dominique]

J'ai fini par trouver quelque chose mais je ne suis pas sûre de la validité :

ab = 10 a + b = 7 * x

bc = 10 b + c = 7 * y

ca = 10 c + a

OK

(remarque : si on n'était pas sur un forum et donc limité au niveau traitement de texte, il serait souhaitable de mettre un trait sur ab, bc et ca pour qu'on ne confonde pas avec a×b, b×c et c×a)

10 bc = 100 b + 10 c = 7 * 10 * x

100 ab = 1 000 a + 100 b = 7 * 100 * y

Une "étourderie", je crois (échange entre x et y) mais sinon d'accord.

ca = 100 b + 10 c - (1 000 a + 100 b) + 1 001 a

.../...

A partir de là, je ne comprends plus rien car je ne sais pas d'où sort cette égalité.

[Penelope]

Une "étourderie", je crois (échange entre x et y) mais sinon d'accord.

ca = 100 b + 10 c - (1 000 a + 100 b) + 1 001 a

.../...

A partir de là, je ne comprends plus rien car je ne sais pas d'où sort cette égalité.

<{POST_SNAPBACK}>

En fait, ca = 10 c + a

Je suis donc partie de 10 bc - 100 ab et pour que ça soit égal à ca j'ai ajouté 1001 a car - 1000 a + 1001 a = a.

On ne peut pas le faire ?

[Dominique]

En fait, ca = 10 c + a

Je suis donc partie de 10 bc - 100 ab et pour que ça soit égal à ca j'ai ajouté 1001 a car - 1000 a + 1001 a = a.

On ne peut pas le faire ?

<{POST_SNAPBACK}>

Je te rassure (enfin je ne suis pas sûr) : je n'ai pas dit que tes calculs étaient faux (d'autant plus que manifestement tu arrivais à un résultat correct) mais que je n'arrivais pas à suivre ce que tu faisais en te lisant. Il faut donc que tu expliques mieux ce que tu fais car, même avec ton message supplémentaire, il m'a encore fallu un petit peu de temps pour te comprendre. Or, un correcteur ne pourra pas passer énormément de temps à essayer de comprendre ta démarche si tu ne l'expliques pas suffisamment.

Ceci dit, il peut y avoir une autre explication, c'est que j'ai le cerveau lent ce soir ...

Maintenant que tu m'as un peu mieux expliqué, je te rassure : à part l'étourderie concernant x et y, ce que tu écris est exact. Et pourtant, ça ne me semblait pas facile à démontrer.

Je me permets de reprendre ce que tu as écrit à partir de l'endroit où je ne comprenais plus pour te proposer une possibilité d'explications pour le correcteur :