FORPROF, Mathématiques devoir 5

[goldenmiss]

Je trouve ta rédaction très bien, c'est très clair selon moi! Par contre, je vais peut-être paraître nulle mais j'assume, je ne connais pas la propriété de la droite des milieux, quelqu'un pourrait la donner s'il vous plaît? C'est pour ça que je suis bloquée à l'exo 1... Merci! :P

[Dominique]

Je trouve ta rédaction très bien, c'est très clair selon moi! Par contre, je vais peut-être paraître nulle mais j'assume, je ne connais pas la propriété de la droite des milieux, quelqu'un pourrait la donner s'il vous plaît? C'est pour ça que je suis bloquée à l'exo 1... Merci! :P

Il s'agit d'un point délicat. D'ailleurs, ce qui me gêne dans la démonstration de mogus62 (je n'ai pas l'énoncé de l'exercice et ne peux donc pas me prononcer sur le reste) c'est qu'on semble y donner le même nom de "théorème de la droite des milieux" à deux théorèmes tout à fait différents (en fait deux théorèmes réciproques l'un de l'autre) :

Théorème 1 : Si I est le milieu du segment [AB] et si J est le milieu du segment [AC] alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).

Théorème 2 : Si une droite D parallèle à (BC) passe par le milieu I du segment [AB] alors la droite D coupe le segment [AC ] en son milieu.

L'appellation "théorème des milieux" est utilisée, semble-t-il au collège, mais quand on interroge les collègues de collège sur la signification de cette expression, leurs réponses ne sont pas unanimes. Certains parlent de théorème des milieux n°1 et de théorème des milieux n°2 voire de théorème des milieux n°3 ( Si I est le milieu du segment [AB] et si J est le milieu du segment [AC] alors IJ = BC/2 ).

Ce qui semble majoritaire c'est d'appeler le théorème n°1 théorème des milieux, le théorème n°2 devenant alors le théorème réciproque du théorème des mlieux.

Personnellement, j'aurais tendance à déconseiller l'utilisation de ces dénominations (sauf éventuellment en précisant bien sur la copie ce qu'on appelle "théorème des milieux" ... d'autant plus qu'il ya des profs de collèges dans les correcteurs).

Si, comme c'est le plus souvent le cas, on appelle théorème des milieux le théorème n° 1, ce théorème n'est en fait qu'un cas particulier du théorème réciproque du théorème de Thalès.

Avec cette même appellation, le théorème n°2, théorème réciproque du théorème des milieux est en fait un cas particulier du théorème de Thalès.

Voilà qui ne peut à mon avis qu'embrouiller les choses.

Je propose donc cette réécriture pour la démonstartion de mogus62 :

.../...

"D'après l'énoncé, on sait que K est le milieu du côté [AB] du triangle ABC et que J est le milieu du côté [AC] du triangle ABC. On a donc, d'après le théorème réciproque du théorème de Thalès, (KJ) // (BC).

.../...

Je ne peux pas réécrire le reste : il faudrait remplacer "En utilisant de nouveau le théorème de la droite des milieux mais cette fois, dans le triangle OBC et sachant que (MN) // (BC)" peut-être par quelque chose du genre "En utilisant le théorème de Thalès et sachant que (MN)//(BC) et que ... est le milieu de ..., on peut en déduitre que ... est le milieu de ...".

Je ne peux en dire plus car je n'ai pas l'énoncé et ce que dit mogus62 ("sachant que (MN) // (BC), on peut donc dire que M est le milieu de [bO] et que N est le milieu de [OC] ") ne peut être compris car le parallèlisme de deux droites ne peut pas suffire au niveau des hypopthèses.

[Penelope]

Je confirme ce que Dominique dit (j'ai eu l'énoncé sous les yeux) ce n'est pas le théorème de la droite des milieux mais la réciproque de ce théorème, je ne l'ai pas précisé non plus dans ma réponse (j'ai voulu aller vite...).

[couécoué]

Je confirme ce que Dominique dit (j'ai eu l'énoncé sous les yeux) ce n'est pas le théorème de la droite des milieux mais la réciproque de ce théorème, je ne l'ai pas précisé non plus dans ma réponse (j'ai voulu aller vite...).

Ce que je ne comprends pas c'est comment dans la deuxième partie de la démonstration en déduire que M est milieu de OB et N milieu de OC ?

MAGALI

[Penelope]

Tu as un parallélogramme, donc les 2 côtés opposés sont égaux et mesurent 1/2 de [bC].

On a :

MN = 1/ 2 de [bC],

(MN) parallèle à (BC)

M est sur [OB]

N est sur [OC]

d'après la réciproque du théorème de Thalès OM / OB = ON / OC = MN / BC = 1/2

Donc M milieu de [OB]

et N milieu de [OC]

[Dominique]

Tu as un parallélogramme, donc les 2 côtés opposés sont égaux et mesurent 1/2 de [bC].

On a :

MN = 1/ 2 de [bC],

(MN) parallèle à (BC)

M est sur [OB]

N est sur [OC]

d'après la réciproque du théorème de Thalès OM / OB = ON / OC = MN / BC = 1/2

Donc M milieu de [OB]

et N milieu de [OC]

Je n'ai pas l'énoncé mais ce que tu utilises ici ce n'est pas le théorème réciproque du théorème de Thalès.

C'est le théorème de Thalès.

[Penelope]

A force de parler de réciproque et de théorème je ne sais plus ou j'en suis :P

Je reprends : on utilise la réciproque du théorème de Thalès (ou de la droite des milieux) pour prouver que le côté opposé à [MN] du parallélogramme mesure 1/2 de [bC] et le théorème de Thalès pour prouver que M et N sont les mileiux respectifs de [OB] et [OC].

[Dominique]

A force de parler de réciproque et de théorème je ne sais plus ou j'en suis :P

Je reprends : on utilise la réciproque du théorème de Thalès (ou de la droite des milieux) pour prouver que le côté opposé à [MN] du parallélogramme mesure 1/2 de [bC]

J'ai bien peur que tout ceci soit maintenant bien embrouillé car la réciproque du théorème de Thalès sert à prouver le parallélisme de deux droites ...

Voir peut-être : http://perso.wanadoo.fr/pernoux/thales.pdf

[Penelope]

Il faut que je reprenne l'exercice, en fait je n'ai pas travaillé avec la réciproque de Thalès mais avec le théorème de la droite des milieux du Hatier : "Si une droite passe par les milieux I et J de deux côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, alors elle est parallèle au troisième côté, avec IJ = 1/2 de BC."

J'ai oublié un passage important :

Je reprends : on utilise la réciproque du théorème de Thalès (ou de la droite des milieux) pour prouver que le côté opposé à [MN] du parallélogramme est parallèle à (BC) et mesure 1/2 de [bC] (avec Thalès) et le théorème de Thalès pour prouver que M et N sont les mileiux respectifs de [OB] et [OC].

L'avantage du théorème de la droite des milieux, c'est qu'il sert à prouver le parallélisme et la mesure.

[Dominique]

(j'ai travaillé) .../...avec le théorème de la droite des milieux du Hatier : "Si une droite passe par les milieux I et J de deux côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, alors elle est parallèle au troisième côté, avec IJ = 1/2 de BC."

.../...

L'avantage du théorème de la droite des milieux, c'est qu'il sert à prouver le parallélisme et la mesure.

D'accord mais dans ce cas, je te conseille d'indiquer sur ta copie à quelle version du théorème de la droite des milieux tu fais référence.

[couécoué]

Tu as un parallélogramme, donc les 2 côtés opposés sont égaux et mesurent 1/2 de [bC].

On a :

MN = 1/ 2 de [bC],

(MN) parallèle à (BC)

M est sur [OB]

N est sur [OC]

d'après la réciproque du théorème de Thalès OM / OB = ON / OC = MN / BC = 1/2

Donc M milieu de [OB]

et N milieu de [OC]

Merci

[Penelope]

Tu as un parallélogramme, donc les 2 côtés opposés sont égaux et mesurent 1/2 de [bC].

On a :

MN = 1/ 2 de [bC],

(MN) parallèle à (BC)

M est sur [OB]

N est sur [OC]

d'après la réciproque du théorème de Thalès OM / OB = ON / OC = MN / BC = 1/2

Donc M milieu de [OB]

et N milieu de [OC]

Merci

De rien mais attention, c'est théorème et pas réciproque.