exercices numération

[JOE]

merci de votre coopération et de votre aide....

exo 1 :

vérifier que : 12 x 42=21x24 et que 36x84 = 63x48

est-ce une règle générale, un pur hasard ou un résultat qui ne se vérifie que sous certaines conditions?

exo 2 :

calculer le nombre aabb (écrit en base 10), sachant que c'est un carré parfait.

(d'ailleurs si vous avez un cours sur les carrés parfaits, ça m'intéresse, même des liens, j'y connais rien <_< )

exo 3 : nancy-metz 1993

Un nombre A s'écrit avec 3 chiffres ; en permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B ; en permutant les chiffres des dizaines et centaines de A, on obtient un nombre C ; en permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D.

sachant que A-B=18 et que C-A=360

1. calculer D-A

2. montrer que A est un multiple de 3.

3. trouver A sachant qu'il est multiple de 9 (donner toutes les solutions)

exo 4 :

un nombre s'écrit xy en base 10. On lui associe le nombre yx. Prouver que le nombre A = xy+yx est toujours un multiple de 11.

exo 5 :

1. on écrit abcd le nombre dont a,b, c et d sont respectivement le chiffre des milliers, des centaines, des dizaines et des unités dans le système décimal.

Démontrer l'équivalence des affirmations suivantes :

abcd est divisible par 11 ;

10a+b+10c+d est divisible par 11 ;

b+d-a-c est divisible par 11.

2. élargir ce résultat à un nombre quelconque et écrire un critère de divisibilité par 11.

Ces exos m'ont été donnés par mon prof de maths au greta où je suis une formation CRPE. mais vu qu'il préfère travailler plus en individuel avec les élèves, je préfère les travailler à fond chez moi et faire un sujet théorique en cours (2h) et si j'ai besoin d'aide, il m'aide en direct... voilà pourquoi je demande les solutions...

merci beaucoup.

[patEmma]

12*42= (21-9)*(24+18)

=21*24-9*24-9*18+21*18

=21*24-9*(24+18-21*2)

=21*24-9*0

idem pour le suivant

pour savoir tu décompose de la meme facon avec 10a+b et 10c+d

le nombre ne peut se terminer que par 11 44 66 55 99 ...

j'ai trouver 7744

exo 3

C'est facile tu ecris le nombre sous forme A=100a+10b+c

B=100a+10c+b....

exo4

je cherche

[Penelope]

exo 4

A = xy + yx

A = 10x + y + 10 y + x

A = 11x + 11 y

A = 11 (x + y)

A est multiple de 11.

[patEmma]

exo 5

1000a*100b*10c*d=990a+10a +99b+b +10c+d =

11*90*a +11*9*b + 10a+b+10c+d

comme ce nb est div par 11 ,tout ces termes sont divisibles par 11 donc 10a+b+10c+d aussi

10a+b+10c+d=11a-a+11c-c+b+d.

=11a+11c +c+d-a-c

Meme resonnement donc c+d-a-c est div par 11

[JOE]

<_< je veux bien qu'on me ré-explique ce que Pat emma m'a noté pour les premiers exos...surtout l'exo 2 et 3.

le 4, c'est bon, je l'avais juste. et le 5, ben je ne comprends toujours pas vu que je ne suis aps arrivé à quelque chgose de logique, ben je peux même pas comparer les résultats...

et pour le 1, vous avez trouvé? car j'aicherché avec les nombres pairs, le smultiples de 3, n'importe quoi, j'ai pas trouvé non plus...

merci beaucoup...

[leelou34]

Exo 1 :

soient A et B 2 entiers naturels tels que A = 10a+b et B= 10c+d

donc (10a+b) * (10c+d) = (10b + a) * (10d +c)

100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10bc + 10ad + ac

100 ac + bd = 100bd + ac

99ac = 99 bd

ac = bd

Cette règle n'est donc pas générale et ne se vérifie que pour des nombres A = 10a+b et B = 10c+d

tels que : a*c = b *d

[JOE]

honnêtement leelou, je comprends en voyant la correction, mais jamais je ne saurai refaire car même si j'avais pensé à A=10a + b, je n'aurai pas mis pour B 10 c+ d mais encore 10 a +b...

je suis loin du compte....encore...

[leelou34]

pour les carrés parfaits, voilà ce que j'ai trouvé :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carré_parfait

Dans cette définition, ils disent qu'en base 10, le chiffres des unités d'un carré parfait ne peuvent être que : 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.

donc le nombre recherché peut s'écrire aa00, aa11, aa44, aa55, aa66 ou aa99.

par essais successifs, on trouve 7744 dont la racine est 88.

exo 3 :

A=100a+10b+c

B=100a+10c+b

C=100b+10a+c

D=100c+10b+a

A-B= 18 d'où 10b+c-10c-b=18 9b-9c=18 b-c=2 d'où c=b-2

C-A=360 d'où 100b+10a-100a-10b = 360 90b-90a=360 b-a=4 d'où a=b-4

a)

D-A= 100c+a-100a-c=99c-99a= 99 (c-a) = 99 [(b-2)-(b-4)] =99 * 2 = 198

b)je cherche......

[leelou34]

exo 3 :

b)

A=100a+10b+c = 99a+a+9b+b+c= 99a+9b+(a+b+c)= 3*(33a+3b)+(a+b+c)

3*(33a+3b) est multiple de 3 donc pour que A soit multiple de 3 il faut que (a+b+c) soit multiple de 3.

on a vu plus haut que c=b-2 et a= b-4 donc a+b+c = b-4 + b + b-2 = 3b - 6 = 3 (b-2)

3*(b-2) est multiple de 3 donc A multiple de 3.

c) trouver A sachant qu'il est multiple de 9 => (a+b+c) divisible par 9

ce qui revient à dire que 3*(b-2) est divisible par 9

donc 3*(b-2) = 9 ou 18 (pas au-delà car b<=9)

si 3*(b-2)=9 alors b=5 ; a=1 ; c=3

si 3*(b-2)=18 alors b=4 ; a=0 impossible car A est un nb à trois chiffres!!!

donc A=153

voilà ce que je trouve.

[JOE]

j'ai la correction du numéro 3

2 A = abc = 100 a + 10 b + c

B = acb = 100 a + 10 c + b

C = bac = 100 b + 10 a + c

D = cba = 100 c + 10 b + a

A - B = 10 b + c - 10 c - b = 10 ( b- c ) - ( b - c ) = 9 ( b - c )

donc : 9 ( b - c ) = 18 et b - c = 2 ou b = c + 2 ( ou c = b - 2 )

C - A = 100 b - 100 a + 10 a - 10 b = 100 ( b -a ) - 10 ( b - a ) = 90 ( b - a )

donc : 90 ( b - a ) = 360 et b - a = 4 ou b = a + 4 ( ou a = b - 4 )

a) D - A = 100 c - 100 a + a - c = 100 ( c -a ) - ( c - a ) = 99 ( c - a )

D - A = 99 ( b - 2 - b + 4 ) = 2 x 99 = 198

b) A = 100 a + 10 ( a + 4 ) + a + 2 ( en effet : de b = c + 2 et a = b - 4 on conclut : a = c + 2 - 4 = c - 2 ou c = a + 2 ) A = 111 a + 42 = 3 x ( 37 a + 14 )

Donc A est multiple de 3

c) Si A est multiple de 9 , alors 37 a + 14 est multiple de 3 .

Si a = 0 : 37 a + 14 = 14 non multiple de 3

Si a = 1 : 37 a + 14 = 51 = 3 x 17 alors A est multiple de 9

et A = 153 ( on vérifie que b = a + 4 = 5 et c = a + 2 = 3 )

Chaque fois que a augmente de 1 , 37 a + 14 augmente de 37 qui est un nombre premier donc pour que 37 a + 14 augmente d'un multiple de trois , il faut lui ajouter 3 fois 37 .

Donc chaque fois que a augmente de trois , 37 a +14 sera un multiple de trois .

D'où : a = 4 : 37 a + 14 = 162 et A = 486 ( b = a + 4 = 8 , c = a + 2 = 6 )

a = 7 : mais alors b = a + 4 = 11 impossible car c'est un nombre à 2 chiffres

voilà.

[JOE]

bon, merci leelou, on a fait du simultané là !!

je reregarde pour le carré parfait...

[JOE]

bien, nous avançons... merci à qui pourra m'expliquer le 2 (carré parfait) et le 5.

à quoi pensez-vous (ou faut-il penser !) quand on vous dit "carré parfait"? merci, je vais faire manger mes enfants et après je fais des recherches sur ceci pour me faire une fiche.