exercices numération

[patEmma]

je reprends le début du 5

soit A=1000a*100b*10c+d=990a+10a +99b+b +10c+d =

11*90*a +11*9*b + 10a+b+10c+d soit

A= 1000a*100b*10c+d= 11*(90a+9b) + 10a+b+10c+d

Or A est divisible par 11

donc

11*(90a+9b) + 10a+b+10c+d est divisible par 11

et donc 10a+b+10c+d est divisible par 11 ( vu que 11*(90a+9b) l'est obligatoirement)

Meme raisonnement mais en partant du résultat précédent.

On sait donc que B=10a+b+10c+d est div par 11

B=10a+b+10c+d=11a-a+11c-c+b+d.

B=11a+11c +c+d-a-c= 11*(a+c) +c+d-d-a

Meme resonnement donc c+d-a-c est div par 11

[patEmma]

pour le critére de divibilité, je peche un peu.

Si on a un nombre écrit dans le sens inverse ( on part pas de a par exemple fedcba, on peut ecrire que ce nombre sera divisible par 11 si

a+10b+c+10d+e+10f+g... est divisible par 11. mais bon, je cherche autre chose...

Sinon pour le carré parfait.

si le nb a trouver se termine par 0, son carré se terminera par 0

si le nb a trouver se termine par 1, son carré se terminera par 1

si le nb a trouver se termine par 2, son carré se terminera par 4

si le nb a trouver se termine par 3, son carré se terminera par 9

si le nb a trouver se termine par 4, son carré se terminera par 6

si le nb a trouver se termine par 5, son carré se terminera par 5

si le nb a trouver se termine par 6, son carré se terminera par6

si le nb a trouver se termine par 7, son carré se terminera par 9

si le nb a trouver se termine par 8, son carré se terminera par 4

si le nb a trouver se termine par 9, son carré se terminera par 1

Le seul terminaison possible du carré parfait sont:

xx00 xx11 xx44 xx66 xx99.

La solution xx00 est a éliminer car il n'y a pas de carré parfait composer des 2 meme nombres (1100, 2200,3300,4400,5500,6600,7700,8800,9900 ne sont pas possible)

A partir de la , j'ai testé les possiblité 1111 2211.... et je suis tombé sur le résultat

[JOE]

désolé je comprends toujours pas et en fait, je ne comprends pas ça :

A=1000a+100b+10c+d=990a+99b+9c+d

ça sort d'où ces 9 ?

[patEmma]

A=1000a+100b+10c+d=990a+10a +99b+b +10c+d

j'ai décomposer 1000a en 990a+10a et 100b en 99b+b pour faire apparaitre des multiples de 11

[JOE]

bon, alors j'ai tout compris et j'étais très loin de penser qu'il pouvait être intéressant de décomposer ainsi... merci beaucoup de ton aide...

par contre, j'avoue que pour le carré parfait, je n'ai pas encore réussi à trouver quelque chose de clair, donc je pense m'y remettre demain dessus...donc je reviendrai sur ton post...merci.

[patEmma]

j'essaierai de revenir sur le carré parfait plus tard

[didactique]

bon, alors j'ai tout compris et j'étais très loin de penser qu'il pouvait être intéressant de décomposer ainsi... merci beaucoup de ton aide...

par contre, j'avoue que pour le carré parfait, je n'ai pas encore réussi à trouver quelque chose de clair, donc je pense m'y remettre demain dessus...donc je reviendrai sur ton post...merci.

Le carré parfait c'est tout simplement le carré (d'un nombre entier) : en général on dit seulement le carré.

[JOE]

bon, j'ai les corrections d'exo si ça intéresse quelqu'un...n'hésitez pas...

[JOE]

pour efie et doudou, prmomis demain vendredi je vous mets les corrections...mille excuses

[doudou]

merci JOE c'est sympa

[JOE]

alors corrigés des exos

exo 1

partir de abxca=baxdc et il faut se demander quand cette égalité est juste?

soient A et B 2 entiers naturels tels que A=10 a+b et B=10c+d

donc (10a+b)x(10c+d)=(10b+a)x(10d+c)

100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10bc+10ad+ac

100ac+bd=100bd+ac

99ac=99bd

ac=bd

règle non générale et ne se vérifie que avec les nombres A=10a+b et B=10c+d tels que ac=bd

exo 2 :

B est un carré parfait si B=A²

aabb=ax10 puissance3+ax10²+bx10+b

=1000a+100a+10b+b

=1100 a+11b

=11(100a+b)

aabb=A²

recherche des chiffres de A

100²=10.000 donc A<100 et donc 31<A<100

on sait que aabb est dividible par 11 donc A² est divisible par 11, donc obligatoirement A est divisible par 11.

donc A se termine par 99,88,77,66,55,44,33

donc A²=9801; pas aabb

88²=7744, donc aabb

77²=5929 non aabb

66²=4356=non aabb

55²=3025=non aabb

44²=1936 non aabb

33²=1089 non aabb

donc aabb=7744

exo 3 :

A=abc=100a+10b+c

B=acb=100a+10c+b

C=bac=100b+10a+c

D=cba=100c+10b+a

A-B=100a+10b+c-100a-10c-b

=10b+c-10c-b

=10(b-c)-(b-c)

=9(b-c)

donc 9(b-c)=18 b-c=2 ou b=c+2

C-A = 100b-100a+10a-10b

=100(b-a)-10(b-a)

=90(b-a)

donc 90(b-a)=360 donc b-a=4 ou b=a+4

a)D-A=100c-100a+a-c

=100(c-a)-(c-a)

=99(c-a)

D-A=99(b-2-b+4)

=2x99=198

b)A=100a+10(a+4)+a+2

en effet de b=c+2 et a = b-4 on conclut a=c+2-4=c-2 ou c= a+2)

A=111a+42=3(37a+14) donc A est multiple de 3.

c) si A est multiple de 9, alors 37a+14 est multiple de 3.

si a=0, 37a+14 = 14 non mult de 3

si a=1, 37a+14 = 51=3x17 donc A est mult de 9 et A = 15 puissance de 3

on vérifie que b=a+4=5 et c=a+2=3

la suite ...

[JOE]

exo 4

xy+yx=A

(10x+y)+(10y+x)=

11y+11x

=11(x+y)

donc toujours multiple de 11

exo 5

on décompose abcd en base 10

abcd=1000a+100b+10c+d=11(90a+9b)+10a+b+10c+d

ainsi abcd est divisible par 11 et si et seulement si (-a+b-c+d) est divisible par 11

enfin (10a+b+10c+d)=11(a+c)-a+b-c+d

ainsi (10a+b+10c+d) est divisible par 11 si et seulement si (-a+b-c+d) est divisible par 11.

le résultat général s'énonce en disant : "on ajoute les chiffres de rang pair en commençant par le chiffre des unités, puis on retranche la somme des chiffres de rang impair et on doit obtenir un nombre divisible par 11 (éventuellement négatif)

voilà surtout s'il y a des erreurs , n'éhsitez pas à le dire car là j'ai recopié sans réfléchir