probleme de bases

[steph-033]

coucou tout le monde

j'ai un problème concernant les bases

Enoncer, sans la justifier, une methode pour passer, sans calcul, de l'ecriture d'un nombre

- en base 3 à son ecriture en base 9

- en base 9 à son ecriture en base 3

- en base 16 à son ecriture en base 2

- en base 2 à son ecriture en base 16

merci de votre aide

[Dominique]

j'ai un problème concernant les bases

Enoncer, sans la justifier, une methode pour passer, sans calcul, de l'ecriture d'un nombre

- en base 3 à son ecriture en base 9

Cet exercice n'est pas facile ! Où donc l'as-tu trouvé ?

Je propose la réponse suivante :

On découpe l'écriture en base trois en tranches de deux chiffres en partant de le droite (en ajoutant si besoin un zéro pour la dernière tranche à gauche).

La tranche la plus à droite ab nous permet de trouver le chiffre le plus à droite de l'écriture du nombre en base neuf qui vaut 3a +b.

La tranche suivante cd nous permet de trouver le chiffre suivant de l'écriture du nombre en base neuf qui vaut 3c+d

etc.

Exemples :

Soit le nombre qui s'écrit 112102 en base trois. "Découpage en tranches" : 11 21 02

3 × 0 + 2 = 2

3 × 2 + 1 = 7

3 × 1 + 1 = 4

L'écriture en base neuf est 472.

Soit le nombre qui s'écrit 22101 en base trois. "Découpage en tranches" : 02 21 01

3 × 0 + 1 = 1

3 × 2 + 1 = 7

3 × 0 + 2 = 2

L'écriture en base neuf est 271.

- en base 9 à son ecriture en base 3

On effectue la division euclidienne par 3 du nombre obtenu en prenant uniquement le chiffre le plus à droite de l'écriture en base neuf. Le reste de la division nous donne le chiffre le plus à droite de l'écriture en base trois. Le quotient nous donne le chiffre suivant de l'écriture en base neuf.

On effectue la division euclidienne par 3 du nombre obtenu en prenant uniquement le deuxième chiffre à partir de la droite de l'écriture en base neuf. Le reste de la division nous donne le troisième chiffre à partir de la droite de l'écriture en base trois. Le quotient nous donne le chiffre suivant de l'écriture en base trois.

etc.

Exemple :

Soit le nombre A écrit 8701 en base neuf.

On divise 1 par 3. Le quotient vaut 0 et le reste vaut 1. L'écriture en base trois de A se termine donc par 01.

On divise 0 par 3. Le quotient vaut 0 et le reste vaut 0. L'écriture en base trois de A se termine donc par 0001.

On divise 7 par 3. Le quotient vaut 2 et le reste vaut 1. L'écriture en base trois de A se termine donc par 210001.

On divise 8 par 3. Le quotient vaut 2 et le reste vaut 2. L'écriture en base trois de A est donc 22210001.

- en base 16 à son ecriture en base 2

On écrit en base deux le nombre obtenu en prenant uniquement le dernier chiffre le plus à droite de l'écriture en base seize et on complète si nécessaire à gauche avec des zéros pour avoir quatre chiffres. Cette écriture à quatre chiffres correspond au quatre derniers chiffres de l'écriture en base deux.

On écrit en base deux le nombre obtenu en prenant uniquement le deuxième chiffre en partant de la droite de l'écriture en base seize et on complète si nécessaire à gauche avec des zéros pour avoir quatre chiffres. Cette écriture à quatre chiffres correspond au quatre chiffres suivants de l'écriture en base deux.

etc.

Exemple :

Soit A le nombre écrit f5d en base seize.

d correspond au nombre treize qui s'écrit 1101 en base deux. Donc l'écriture de A en base deux se termine par 1101.

5 s'écrit 101 en base deux. On complète à gauche avec un zéro ce qui donne 0101. Donc l'écriture de A en base deux se termine par 01011101.

f correspond au nombre quinze qui s'écrit 1111 en base deux. Donc l'écriture de A en base deux est 111101011101.

- en base 2 à son ecriture en base 16

On découpe l'écriture en base deux en tranches de quatre chiffres en partant de le droite (en ajoutant si besoin un ou des zéros pour la dernière tranche à gauche).

La tranche la plus à droite abcd nous permet de trouver le chiffre le plus à droite de l'écriture du nombre en base seize qui correspond au nombre 8a + 4b + 2c +d

La tranche suivante efgh nous permet de trouver le chiffre suivant de l'écriture du nombre en base seize qui correspond au nombre 8e + 4f + 2g +h

etc.

Exemple :

Soit le nombre écrit 1111101101101 en base deux. Découpage en tranches : 0001 1111 0110 1101

8 × 1 + 4 × 1 + 2 × 0 + 1 = 13 qui s'écrif d en base seize

8 × 0 + 4 × 1 + 2 × 1 + 0 = 6

8 × 1 + 4 × 1 + 2 × 1 + 1 =15 qui s'écrit f en base seize

8 × 0 + 4 × 0 + 2 × 0 + 1 =1

L'écriture en base seize est 1f6d

[mistral54]

De base 3 à base 9 :

chaque pair de chiffres en base 3 représente un seul chiffre en base 9 ==> 3² = 9

De base 9 à base 3 :

raisonnement inverse

De base 16 à base 2 :

chaque chiffre héxadécimal represente 4 bits ==> 16 = 2^4

De base 2 à base 16 :

raisonnement inverse

exemple :

210211 (3) = 724 (9) (2*3+1 = 7 ; 0*3+2 = 2 ; 1*3+1 = 4)

724 (9) = 210211 (3) (Calculs dans le sens inverse, on fait la division euclidienne de chaque chiffre par 3)

A3 (16) = 11000011 (2) (A (ou 10) = 2^3+2^2 ; 3=2+1)

Et encore inversement ...

Pour plus de rapidité avec la base 2, pensez aux connections internet et aux ordinateurs avec 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 ... ce sont tous des multiples de 2 tout simplement car un ordinateur ne comprend que 1 et 0.