petites questions arithmétique

[Toubab]

Petites questions: il faut répondre par vrai ou faux et justifier.

Tout diviseur de 6 est un diviseur de 72.

Tout diviseur de 24 est un diviseur de 12

Si un nombre est un multiple de 7 et de 5, alors il est multiple de 35.

Si un nombre est multiple de 6 et 4, alors il est multiple de 24.

221 est un nombre premier.

509 est un nombre premier.

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'aider!!

[RitaNewton]

Je ne sais pas si c'est comme cela qu'il faut le dire :

Tout diviseur de 6 est un diviseur de 72.

Je dirais que les diviseurs de 6 sont 1 ; 2 ; 3 et 6

Or 72 est divisible par 1, par 2 (puisqu'il est pair), par 3 (puisque 7+2=9), divisible par 3, et donc par 6.

Donc VRAI.

Tout diviseur de 24 est un diviseur de 12

Même technique que ci-dessus, sauf que 24 est un multiple de 24 mais pas de 12, donc FAUX.

Si un nombre est un multiple de 7 et de 5, alors il est multiple de 35.

Là je dirais oui, mais je ne sais pas comment le justifier.

Si un nombre est multiple de 6 et 4, alors il est multiple de 24.

Idem.

221 est un nombre premier.

Pour savoir si un nombre est "premier", il faut le diviser par tous les nombres premiers jusqu'à ce que le quotient soit supérieur au diviseur, pour 221, en le divisant par 13 on obtient 17, donc ce n'est pas un nombre premier.

509 est un nombre premier.

Même technique : à partir de 509 divisé par 23 le quotient est plus petit que 23, donc 509 est bien un nombre premier.

[maellann]

Si un nombre est un multiple de 7 et de 5, alors il est multiple de 35.

Là je dirais oui, mais je ne sais pas comment le justifier.

7 et 5 sont des nombres premiers donc si un nombre est un multiple de 7 et de 5, c'est aussi un multiple du produit 7x5

Si un nombre est multiple de 6 et 4, alors il est multiple de 24.

Idem.

Et bien non, c'est faux ! Car 6 et 4 ne sont pas des nombres premiers (exemple : 36 est un multiple de 6 et de 4 et ce n'est pas un multiple de 24)

[Toubab]

Merci à vous deux!

[Dominique]

La condition "a et b sont des nombres premiers" est une condition suffisante pour que les multiples communs à a et b soient des multiples de a × b mais ce n'est pas une condition nécessaire.

Exemple : si un nombre est multiple de 10 et 21 alors c'est un multiple de 210 et pourtant ni 10 ni 21 ne sont des nombres premiers.

En fait une condition nécessaire et suffisante pour que les multiples communs à a et b soient des multiples de a x b est que a et b soient "premiers entre eux" ce qui ne signifie pas que et b sont nécessairement des nombres premiers. Ca signifie que dans les décompositions en facteurs premiers de a et de b on ne trouve pas de facteur commun ou encore, si on préfère, que a et b n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 ou encore que le PGCD de a et b vaut 1 ou encore que le PPCM de a et b vaut a×b.

Exemples :

10 = 2×5 et 21 = 3×7 donc 10 et 21 sont "premiers entre eux" (c'est-à- dire qu'on ne trouve pas de facteur commun dans les deux décompositions en nombres premiers ou encore que le PGCD de 10 et 21 vaut 1ou encore que le PPCM de 10 et 21 vaut 210)

Les multiples communs à 10 et 21 sont les multiples de 210.

12 =3×4 et 21=3×7 donc 12 et 21 ne sont pas "premiers entre eux" (le facteur 3 se trouve dans les deux décompositions et le PGCD de 12 et 21 ne vaut pas 1 mais 3)

Les multiples communs à 12 et 21 ne sont pas les multiples de 12 x 21 qui vaut 252 mais ce sont les multiples du PPCM de 12 et 21 qui vaut 84.

Voir aussi : http://perso.wanadoo.fr/pernoux/ppcm.htm et http://perso.wanadoo.fr/pernoux/criteres.htm

[Dominique]

Tout diviseur de 6 est un diviseur de 72.

6 est un diviseur de 72 donc tout diviseur de 6 est un diviseur de 72.

Tout diviseur de 24 est un diviseur de 12.

Non.

Contre-exemple : 24 est un diviseur de 24 mais pas un diviseur de 12.

Si un nombre est un multiple de 7 et de 5, alors il est multiple de 35.

Oui.

7 et 5 sont "premiers entre eux" (leur PGCD vaut 1) donc les multiples de 7 et 5 sont les multiples de 35.

Si un nombre est multiple de 6 et 4, alors il est multiple de 24.

Non.

6 et 4 ne sont pas "premiers entre eux" (leur PGCD ne vaut pas 1 mais 2) donc les multiples de 6 et 4 sont les multiples de leur PPCM qui vaut 12. Il y a donc des multiples de 6 et 4 qui ne sont pas des multiples de 24.

Ce sont les nombres suivants : 12, 36, 60, 84, ...

221 est un nombre premier.

Non car 221 = 13 × 17.

509 est un nombre premier.

Oui (on teste si 509 est divisible par 2 puis 3 puis 5 puis 7 puis 11 puis 13 puis 17 puis 19 puis 23, on constate que ce n'est pas le cas et on peut conclure que 509 est premier puisque 23²>509).